积分方程的程序化解决方案

Posted 2021-02-04 pylblog

首先，解决一个数学问题，需要有一定的基础知识。

基础知识又分为：1. 安全变换 ；2. 启发式变换；3. 基本变换公式

其次，要程序化的解决一个数学问题，需要建立目标树：

*所谓树，到达最终的“解决果实”，可能有分叉，也就是说，可以若干条分支，最终摘到果实。

AND NODE：就是必须将问题全部解决的节点

OR NODE：就是可以选择一条支解决，如果一条支解决不了，可以回到节点处选择另一条支。

例子：解 ∫ - (   5 *( ( X )⁴  / ( ( 1 - (X)² ) )^{5 / 2} )) dx   *此公式其实没便要那么多括号，但为了方便程序化的优先级

准备知识：

一.  安全变换

1. ∫ -f(x) dx = - ∫ f(x) dx

2. ∫ C* f(x) dx = C * ∫ f(x) dx

3. ∫ Σ f_i(x) dx = Σ ∫ f_i(x) dx

4. ∫ (f(x) / g(x) )dx = f (q(x) + 1 / g(x) ) dx

……

*安全变换，其实有十多种，这是常用的几种

二. 启发变换

5. ∫ f(tan(x)) dx = ∫ f(y) / (1 + (y)²) dy

6. 若存在 1 - (x)2，那么令 x = sin(y)；若存在1 + (x)2，那么令 x = tan(y)

……

*启发变换，其实有十多种，这是常用的几种

三. 基本变换公式：积分表

OK，然后开始解决：

1. 根据安全变换1，问题变为，解决：∫  5 * (( X )⁴ ) / ( ( 1 - (X)² ) )^{5 / 2}) dx

2. 根据安全变换2，问题变为，解决：∫  ( X )⁴  / ( ( 1 - (X)² ) )^{5 / 2}dx

3. 现在，有一个OR NODE，使用安全变换4，OR，使用启发变换。

3.1 

　　先使用启发变换：

　　令：x = sin(y) ， dx / dy = cos(y) ，dx = cos(y) dy，  1 - X² =  1 - (sin(y))² = cos(y)²

　　4. 问题变为，解决：∫ (sin(y))⁴ / (cos(y))⁴ dy

3.2

……

3.1.1

　　现在，有一个OR NODE，∫ (sin(y))⁴ / (cos(y))⁴ dy 变为：  ∫ 1 / (cot(y))⁴ dy OR  ∫ (tan(y))⁴  dy

3.1.1.1

　　先使用 ∫ (tan(y))⁴  dy

　　5. 使用启发变换5，令z = tan(y)，问题变为： ∫ z⁴ / (1 + z) ²  dz

　　6. 使用安全变换4，问题变为：∫ z² - 1 + 1 / (1 + z²) dz

　　7. 使用安全变换3，问题变为：∫ z² dz + ∫  - 1 dz + ∫  1 / (1 + z²) dz ，此处出现了一个AND NODE，NODE上有三个叶子， （前两个叶子好解决）

　　8. 最后一个叶子，解决 ∫  1 / (1 + z²) dz ，使用启发变换6，令 z = tan(t) , dz / dt = 1 + tan(z)²  ，dz =  (1 + tan(z)² ) dt， 问题变为，解决：∫ 1 dt

3.1.1.2

……