经典倒水问题

Posted 2021-02-03 joezzz

倒水问题

　　有两个容器，容积分别为a升和b升，有无限多的水，现在需要c升水。 问能否通过有限次的倒水操作，得到c升水？

解析

这类题有一个套路，小容量的杯子不断往大杯子里面倒水，大杯子满了之后就把大杯子全倒掉。先举个简单的例子，比如：3升和5升的杯子，得到4升水，下面步骤中的第一个数字表示3升杯子中的水量、第二个数字5升杯子中的水量，开始时都为0：

• 0，0

• 3，0

• 0，3

• 3，3

• 1，5

• 1，0

• 0，1

• 3，1

• 0，4

• bingo，得到4升水了

到这你可能发现一些规律了：

1. 小杯不断往大杯中倒水

2. 大杯满了的时候，大杯全部倒掉

3. 小杯继续往大杯倒水

4. 重复上面的步骤，直到得到目标水量，或者实现不了目标而退出循环

这是不是很像数学中的某一种运算呢？对，就是“%”取余运算。就拿上面的案例来说：

• 3 % 5 = 3，第一杯倒完后大杯中有3升水

• 6 % 5 = 1，6表示当前倒的是第二小杯水，第二小杯水倒完的时候，大杯可以得到1升水

• 9 % 5 = 4，表示第三小杯水倒完后，我们就能得到4升水了。

• 用3的倍数不断地去对5取余，看结果是否满足

用数学的方法表达：求出a和b的最大公约数，如果c能被a和b的最大公约数整除，则可以倒出c升水

代码实现

int gcd(int a, int b) //递归求a和b的最大公约数
{
    return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
}

int gcd1(int a, int b)//非递归求a和b的最大公约数
{
    if(a==0)
        return b;
    if(b==0)
        return a;
    int yu = b;
    while(a % b != 0)//b不断地去成为余数a % b，a去成为上一次的b
    {
        yu = a % b;
        a = b;
        b = yu;
    }
    return yu;
}

bool can(int a, int b, int c)
{
    if (c % gcd1(a, b)==0)
        return true;
    else
        return false;
}