[模板] 积性函数 && 杜教筛

Posted 2021-02-03 ubospica

积性函数

数论函数指的是定义在正整数集上的实或复函数.
积性函数指的是当 ((a,b)=1) 时, 满足 (f(a*b)=f(a)*f(b)) 的数论函数.
完全积性函数指的是在任何情况下, 满足 (f(a*b)=f(a)*f(b)) 的数论函数.

常见的积性函数

φ(n) －欧拉φ函数，计算与n互质的正整数之数目
μ(n) －默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) －最大公因数，当k固定的情况
{sigma {k}} sigma {k}(n): 除数函数，n的所有正因数的k次幂之和，当中k可为任何复数。在特例中有：
{displaystyle sigma {0}} sigma_0(n) = d(n) - n的正因数数目
{displaystyle sigma {1}} sigma _{1}(n) = {displaystyle sigma } sigma (n) - n的所有正因数之和
1(n) －不变的函数，定义为 1(n)=1 （完全积性）
Id(n) －单位函数，定义为 Id(n)=n （完全积性）
Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = nk （完全积性）
Id0(n) = 1(n) 及
Id1(n) = Id(n)
ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若n > 1，ε(n)=0。有时称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
(n/p) －勒让德符号，p是固定质数（完全积性）
λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
γ(n)，定义为γ(n)=(-1)ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
所有狄利克雷特征均是完全积性的