bzoj 3456 城市规划

Posted 2021-02-03 kong-ruo

求 n 个点简单无向连通图个数，膜 $1004535809$ (是一个质数，原根是 $3$)

$n leq 130000$

sol：

推式子的方法...应该到处都有

记录一下指数生成函数 (EGF) 的做法

先设 $g(x)$ 为 n 个点简单无向图的 EGF ，可以知道 $g(x)=sumlimits_{i=0}^{infty} 2^{inom{i}{2}} imes frac{x^i}{i!}$

然后考虑求 n 个点简单无向连通图的 EGF ，记为 $f(x)$

一个不一定连通的图由若干个连通块组成，枚举一下连通块的大小得到 $g(x)=sumlimits_{i=0}^{infty} frac{(f(x))^i}{i!}$

可以理解成，包含 1 个连通块的是 $f(x)$ ，两个连通块的是 $frac{1}{2} imes (f(x))^2$ ，三个连通块的是 $frac{1}{6} imes (f(x))^3$ ...

然后考虑 $e^x$ 的泰勒展开，$e^x = sumlimits_{i=0}^{infty} frac{x^i}{i!}$ ，可以知道 $g(x) = exp(f(x))$ ，则 $f(x) = ln(g(x))$ 

多项式求 ln 即可，答案就是 $[x^n]f(x) imes n!$