Luogu4221 WC2018州区划分（状压dp+FWT）

Posted 2021-02-03 gloid

　　合法条件为所有划分出的子图均不存在欧拉回路或不连通，也即至少存在一个度数为奇数的点或不连通。显然可以对每个点集预处理是否合法，然后就不用管这个奇怪的条件了。

　　考虑状压dp。设f[S]为S集合所有划分方案的满意度之和，枚举子集转移，则有f[S]=Σg[S‘]*f[S^S‘]*(sum[S‘]/sum[S])^p (S‘?S)，其中g[S]为S集合是否合法，sum[S]为S集合人口数之和。复杂度O(3ⁿ)。这个式子非常显然，就这么送了50分。p这么小显得非常奇怪但也没有任何卵用。

　　考虑优化。转移方程写的更优美一点大约是f[S]=Σf[x]*g[y]/h[S] (x|y=S,x&y=0)。看起来像是一个或卷积，但还有后面一个限制。考虑在x|y=S的前提下，x&y=0实际上相当于|x|+|y|=|S|。于是稍微改一下状态，f[i][S]为i个点所选点集为S时的满意度之和（虽然第一维显然是可以由第二维推出的），g同样更改状态，这样转移就是f[i][S]=Σf[u][x]*g[v][y]/h[S] (x|y=S,u+v=i)。暴力枚举第一维u，FWT做或卷积即可，复杂度O(2ⁿ·n²)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 21
#define P 998244353
#define rep(i,t,S) for (int t=S,i=lg2[t&-t];t;t^=t&-t,i=lg2[t&-t])
int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<‘0‘||c>‘9‘) {if (c==‘-‘) f=-1;c=getchar();}
    while (c>=‘0‘&&c<=‘9‘) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,m,p,a[N][N],w[N],fa[N],degree[N],lg2[1<<N],sum[1<<N],size[1<<N],f[N+1][1<<N],g[N+1][1<<N];
int ksm(int a,int k)
{
    int s=1;
    for (;k;k>>=1,a=1ll*a*a%P) if (k&1) s=1ll*s*a%P;
    return s;
}
int inv(int a){return ksm(a,P-2);}
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void inc(int &x,int y){x+=y;if (x>=P) x-=P;}
void get()
{
    for (int i=0;i<n;i++) lg2[1<<i]=i;
    for (int i=1;i<(1<<n);i++)
    {
        sum[i]=sum[i^(i&-i)]+w[lg2[i&-i]];
        size[i]=size[i^(i&-i)]+1;
        rep(x,u,i) fa[x]=x,degree[x]=0;
        rep(x,u,i)
        {
            rep(y,v,i) if (a[x][y]) degree[x]^=1,fa[find(x)]=find(y);
            if (degree[x]) {g[size[i]][i]=1;break;}
        }
        int f=-1;
        rep(x,u,i) if (f==-1) f=find(x);else if (f!=find(x)) {g[size[i]][i]=1;break;}
    }
    for (int i=0;i<(1<<n);i++) sum[i]=ksm(sum[i],p),g[size[i]][i]*=sum[i];
}
void FWT(int *a,int n,int op)
{
    for (int i=2;i<=n;i<<=1)
        for (int j=0;j<n;j+=i)
            for (int k=j;k<j+(i>>1);k++)
            if (!op) a[k+(i>>1)]=(a[k+(i>>1)]+a[k])%P;
            else a[k+(i>>1)]=(a[k+(i>>1)]-a[k]+P)%P;
}
void solve()
{
    f[0][0]=1;
    FWT(f[0],1<<n,0);
    for (int i=0;i<=n;i++) FWT(g[i],1<<n,0);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=0;j<(1<<n);j++)
            for (int x=0;x<i;x++)
            f[i][j]=(f[i][j]+1ll*f[x][j]*g[i-x][j])%P;
        FWT(f[i],1<<n,1);
        for (int j=0;j<(1<<n);j++)
        if (size[j]==i) f[i][j]=1ll*f[i][j]*inv(sum[j])%P;
        FWT(f[i],1<<n,0);
    }
    FWT(f[n],1<<n,1);
    cout<<f[n][(1<<n)-1];
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d
";
#else
    const char LL[]="%lld
";
#endif
    n=read(),m=read(),p=read();
    for (int i=1;i<=m;i++) 
    {
        int x=read()-1,y=read()-1;
        a[x][y]=a[y][x]=1;
    }
    for (int i=0;i<n;i++) w[i]=read();
    get();
    solve();
    return 0;
}