整数的故事——最小公倍数与哥德巴赫猜想

Posted 2021-02-03 bigmonkey

最小公倍数

　　就像硬币的正反两面，最大公约数往往是和最小公倍数成对出现的。对于两个不等于零的整数a和b，如果a|k且b|k，那么k就是a和b的公倍数；在所有的k中，大于0的最小者就是a和b的最小公倍数（least common multiple），记作c = LCM(a,b)，根据惯例，a≥b。

寻找最小公倍数

　　寻找两个数的最小公倍数远比寻找它们的最大公约数简单：

 1 # 求a,b的最小公倍数
 2 def lcm(a, b):
 3     m, n = abs(a), abs(b)
 4     if m < n:
 5         m, n = n, m
 6
 7     result = 1
 8     for x in range(1, n + 1):
 9         cm = m * x
10         if cm % n == 0:
11             result = cm
12             break
13
14     return result

　　根据定义，最小公倍数是正整数，计算负数的最小公倍数相当于计算其绝对值的最小公倍数。

寻找最小公倍数2.0版

　　既然最大公约数和最小公倍数经常成对出现，是否能够通过其中一个直接计算另一个呢？当然可以，这需要用到下面的定理：

　　定理说的是a和b的乘积等于它们最大公约数和最小公倍数的乘积，于是我们得到了寻找最小公倍数的另一个版本：

1 # 求a,b的最小公倍数
2 def lcm_2(a, b):
3     m, n = abs(a), abs(b)
4     if m < n:
5         m, n = n, m
6
7     return (a * b) / gcd(a, b)

　　可以随便找一些数字去验证，验证的结果一定是正确的，但是定理是概念和其它定理推导而来的，而不是根据通过无数个计算总结出来的，让我们看看这个定理为什么成立。

　　依然是利用素因子表达式：

　　p_1,p₂……p_t是a和b共同的素因子，它们的次数可以是0，比如：

　　由于素因子分解是唯一的，所以a和b的约数的素因子将是：

　　只有这样才能保存a’|a，b’|b。作为a和b的最大公约数，GCD(a,b)可以分解为：

　　类似的，LCM(a,b)可以分解为：

　　将二者相乘：

哥德巴赫猜想猜的是什么

　　哥德巴赫猜想是最广为人知的数学难题，它的简称是1+1，这实在不怎么好。最普遍的误解版本是说哥德巴赫猜想就是证明1+1=2——一个苹果加另一个苹果为什等于两个苹果至今还没有被证明，这就一点不贴边了，哥德巴赫才不会那么无聊。另一个误解版本稍微高级一点，说一个素数加上另一个素数等于一个偶数，这个就不用麻烦老爷子了吧，更不用着欧拉，我就能证明。

　　真正的哥德巴赫猜想是哥德巴赫在1742年提出的：任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，所以哥德巴赫猜想的现代版本是：“所有大于4的偶数都可以分解成两个素数（质数）的和”，简称1+1，没有=2。

整数比自然数更多吗？

　　这里有个好玩的问题，整数是无穷的，自然数也是无穷的，那么整数和自然数的个数哪个更多呢？

　　第一感觉是整数更多，多了一倍，它比自然数多了负值部分。但真相是，二者的数量一样多！这就要了解数学中是怎样定义“一样多”的。在数学中，如果两个集合能够产生一一对应的关系，并且这个对应关系可以用一个函数表示，我们就可以说这两个集合的元素一样多。比如整数和自然数的对应可以是：

　　这个对应关系函可以是：

　　x是整数，f(x)是自然数，无论哪一个整数，都能在自然数中找到唯一的对应。f(x)没有尽头，所以不用关心会对应不上。

　　自然数和实数是否也有这样的对应关系呢？没有。它们无法产生一一对应，因为每两个实数间都有无穷多个数，无法有效写出一个对应关系。

全体实数比±1之间的实数更多吗？

　　整数和自然数一样多，那么全体实数的个数与[-1,1]区间内的实数个数哪个多呢？第一感觉又是实数多，但实际上二者一样多！

　　这个匪夷所思的问题可以用一个数轴表示，说明二者一一对应：数轴上的每一个点都代表一个实数，把-1 到1之间的线段的向上弯折，得到一个与0点相切，弧长是2的圆弧：

　　现在，把数轴上的任意点与弧连线，都可以在弧上找到唯一点：

　　弧上的点和数轴上的点都有无数个，最终的密集连线将会变成一个平面，无限远端的连线也将近似地平行于数轴。由此可见，二者的数量相等，更准确的说是“势”相等。

　　

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　　 作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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