F - Tmutarakan Exams URAL - 1091 -莫比乌斯函数-容斥 or DP计数

Posted 2021-02-03 sdutning

F - Tmutarakan Exams

题意 : 从 < = S 的 数 中 选 出 K 个 不 同 的 数 并 且 gcd > 1 。求方案数。
 
思路 ：记 录 一 下 每 个 数 的 倍 数 vector 存 储 ，最后从 2 开始 遍历 一遍每个数 ，从 他的倍数中 挑选 k个 组合数求解。
 
但是会有重复，因为 比如 K=2，S=15时 ， 2倍数 ： 2  ，4 ， 6，  8， 10，  12， 14 ，   挑出了 这种情况 6 ，12，然后
 
从3的倍数 ： 3， 6 ，9，12 ，15, 也选出了 6， 12 这种情况。所以产生重复计数 ，去重，通过他们的最小公倍数 6
 
6的倍数 ： 6， 12, 去掉 即可。 恰好符合莫比乌斯函数的相反数 作为系数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define maxn 1234
vector<ll>p[55];
bool vis[maxn+10];
int prime[maxn+10],mu[maxn+10];
ll s,k,c[33][33],ans,len;
void init()
{
    for(int i=0; i<=30; i++)c[i][0]=1;
    for(int i=1; i<=30; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
}
void getphi()
{
    int cnt=0;
    mu[1]=1;
    for(int i=2; i<maxn; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1; j<=cnt&&i*prime[j]<maxn; j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    getphi();
    scanf("%lld%lld",&k,&s);
    for(int i=2; i<=s; i++)
        for(int j=2; j<=i; j++)
            if(i%j==0)p[j].push_back(i);
    for(int i=2; i<=s; i++)
    {
        len=p[i].size();
        if(len<k)continue;
        ans+=(-mu[i]*c[len][k]);
    }
    if(ans>10000)printf("10000
");
    else printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

　　直接进行计数  dp[ i ] [ j ] [ k ] 前 i 个 数 选 了 j 个 数, gcd 为 k 的 方 案 数.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define maxn 65
ll dp[maxn][maxn][maxn],ans;
int k,s;
int main()
{
    scanf("%d%d",&k,&s);
    for(int i=0; i<=s; i++)dp[i][1][i]=1;
    for(int i=1; i<s; i++)
        for(int j=1; j<=min(k,i); j++)
            for(int z=1; z<=s; z++)
            {
                dp[i+1][j][z]+=dp[i][j][z];
                dp[i+1][j+1][__gcd(i+1,z)]+=dp[i][j][z];
            }
    for(int i=2; i<=s; i++)
        ans+=dp[s][k][i];
    if(ans>10000)printf("10000
");
    else printf("%lld
",ans);
    return 0;
}