[模板]莫比乌斯反演

Posted 2021-02-02 ressed

前置技能：整除分块

计算形如$sum_{i=1}^{n}a_if(lfloorfrac{n}{i} floor)$的式子

可以发现$lfloorfrac{n}{i} floor$只有$O(sqrt{n})$种取值，且相同的取值的i是连续的，所以可以$O(sqrt{n})$来求

和i相同的的最后一个位置，是$n/(n/i)$

需要快速求出a_i的前缀和

例：$sum{mu(i)*frac{n}{i}*frac{m}{i}}$

inline int calc(int n,int m){
    if(n>m) swap(n,m);
    int i=1,pos=1,re=0;
    for(;i<=n;i=pos+1){
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        re+=(mu[pos]-mu[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }return re;
}

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莫比乌斯函数$mu$

当x有次数>=2的质因子时，$mu(x)=0$

否则，设k为x的质因子数量，$mu(x)=(-1)^k$

特殊地，$mu(1)=1$ （其实也不特殊..）

$mu$是积性函数，可以线性筛出。有时也可以作为容斥系数

有$sum_{d|n}mu(d)=[n=1]$，可用二项式定理证明

 

莫比乌斯反演

已知数论函数$F(n)$且$F(n)=sum_{d|n}f(d)$

则有$f(n)=sum_{d|n}mu(d)F(frac{n}{d})$

以及另一种形式（d是n的倍数）：

$F(n)=sum_{n|d}f(d)$

$f(n)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d)$

具体应用时，需要构造f和F，要求f，但是F比较好求

 

例题

luogu2155 YY的GCD ,参见http://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8652288.html

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
 3 #define MP make_pair
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 typedef unsigned long long ull;
 7 typedef pair<int,int> pa;
 8 const int maxn=1e7+10;
 9 
10 inline ll rd(){
11     ll x=0;char c=getchar();int neg=1;
12     while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) neg=-1;c=getchar();}
13     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
14     return x*neg;
15 }
16 
17 int g[maxn],pri[maxn],cnt,T,mu[maxn];
18 bool np[maxn];
19 
20 inline ll calc(int n,int m){
21     if(n>m) swap(n,m);
22     ll re=0;
23     for(int i=1,pos;i<=n;i=pos+1){
24         pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
25         re+=1ll*(n/i)*(m/i)*(g[pos]-g[i-1]);
26     }return re;
27 }
28 
29 int main(){
30     //freopen("","r",stdin);
31     int i,j,k;
32     g[1]=0;np[1]=1;mu[1]=1;
33     for(i=2;i<=1e7;i++){
34         if(!np[i]){
35             pri[++cnt]=i;
36             g[i]=1;mu[i]=-1;
37         }
38         for(j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=1e7;j++){
39             np[i*pri[j]]=1;
40             if(i%pri[j]==0){
41                 g[i*pri[j]]=mu[i];break;
42             }
43             g[i*pri[j]]=mu[i]-g[i];
44             mu[i*pri[j]]=mu[i]*mu[pri[j]];
45         }
46     }
47     for(i=1;i<=1e7;i++) g[i]+=g[i-1];
48     for(T=rd();T;T--){
49         printf("%lld
",calc(rd(),rd()));
50     }
51     return 0;
52 }

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