[bzoj 2875][noi2012]随机数生成器

Posted 2021-02-02 papercloud

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Description

栋栋最近迷上了随机算法，而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Me

thod）来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负整数参数m,a,c,X[0],按照下面的公式生成出一系列随机

数X[n]X[n+1]=(aX[n]+c)mod m其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数

总是由上一个数生成的。用这种方法生成的序列具有随机序列的性质，因此这种方法被广泛地使用，包括常用的C+

+和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的

他仍然想尽快知道X[n]是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,...,g-1之间的，他需要将X[n]除以g取余得到他想要

的数，即X[n] mod g，你只需要告诉栋栋他想要的数X[n] mod g是多少就可以了。

Solution

很简单的矩阵优化递推。

构造矩阵：
[ egin{bmatrix} a & 0\ 1 & 1 end{bmatrix}^ncdot egin{pmatrix} X_0 & c end{pmatrix} ]
但是，这题的问题在于乘法会爆(long long),所以要用比较神奇的姿势。

ll mul(ll a,ll b)
{
    ll res=0;
    for(;b;a=(a<<1)%mod,b>>=1)
        if(b&1)res=(res+a)%mod;
    return res;
}

Code?

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll mod,a,c,x,n,g,Ans;
ll mat[2][2],ans[2][2],tmp[2][2];
ll mul(ll a,ll b)
{
    ll res=0;
    for(;b;a=(a<<1)%mod,b>>=1)
        if(b&1)res=(res+a)%mod;
    return res;
}
inline void sqr_mat()
{
    memset(tmp,0,sizeof tmp);
    for(int i=0;i<2;++i)
    for(int k=0;k<2;++k)
    for(int j=0;j<2;++j)
    (tmp[i][j]+=mul(mat[i][k],mat[k][j]))%=mod;
    for(int i=0;i<2;++i)for(int k=0;k<2;++k) mat[i][k]=tmp[i][k];    
}
inline void pro_ans()
{
    memset(tmp,0,sizeof tmp);
    for(int i=0;i<2;++i)
    for(int k=0;k<2;++k)
    for(int j=0;j<2;++j)
    (tmp[i][j]+=mul(mat[i][k],ans[k][j]))%=mod;
    for(int i=0;i<2;++i)for(int k=0;k<2;++k) ans[i][k]=tmp[i][k];
}
inline void fpow()
{
    for(;n;sqr_mat(),n>>=1)
        if(n&1) pro_ans();
}

int main()
{
    mod=read();a=read();c=read();
    x=read();n=read();g=read();
    mat[0][0]=a;mat[0][1]=0;
    mat[1][0]=1;mat[1][1]=1;
    ans[0][0]=1;ans[1][1]=1;
    fpow();
    Ans=((mul(x,ans[0][0])+mul(c,ans[1][0]))%mod)%g;
    printf("%lld
",Ans);
}

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