卢卡斯定理Lucas

Posted 2021-02-01 yeasio-nein

卢卡斯定理Lucas

在数论中，(Lucas)定理用于快速计算(C^m_n ~ \% ~p)，即证明(C^m_n = prod_{i = 0} ^kC^{m_i}_{n_i})其中(m_i)为(m)的因式分解，(n_i)为(n)的因式分解，(p)为质数。

由(Edward~Lucas)在1878年提出。

证明：

首先我们将(C^i_p)进行一下变式即(C^i_j = frac{p!}{i!(p - i)!})，提出来一个(frac{p}{i})也就等于(frac{p}{i} imes frac{(p - 1)!}{(i - 1)!(p - i)})。因此我们推出：

(C^i_p equiv frac{p}{i}C^{i - 1}_{P - 1} equiv 0 ~(mod~p))。其中(1 leq i leq p - 1)

然后我们得到：

((X +１)^p equiv C_p^01^p + C_p^1X^2 + ... + C_P^PX^P)（实际上就是个多项式展开...）

同时又同余(C_p^01^pX^0 + C_p^p1^0X^p equiv 1 + X^p (mod ~p))

因此我们又推出：

((1 + X)^p equiv 1 + X^p (mod ~ p))

接着我们可以利用数学归纳法求出((1 +Ｘ)^{p^i} equiv 1 + X^{p^i} (mod～ p))。接下来将(m)用(p)进制数表示就是(sum_{i = 0} ^km_ip^i)。

并且我们还可以看出(sum_{n = 0}^{m} C_n^mX^n = (1 +X)^m = prod _{i = 0}^k((1 + X)^{p^i})^{m_i} = prod _{i = 0}^k(1 + X^{p^i})^{m_i} = prod _{i = 0}^k(sum_{n_i = 0}^{m_i} C_{n_i}^{m_i}X^{n_ip^i}))
也就等于(prod _{i = 0}^k(sum_{n_i = 0}^{p - 1} C_{n_i}^{m_i}X^{n_ip^i}) = sum_{n_i = 0}^{k} (prod_{i - 0}^kC_{n_i}^{m_i})X^n ~ (mod ~ p))

因为(n_i)为(n)的(p)进制表示，因此得证。

模板：（Link）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;
typedef long long LL ;
const int MAXN = 100010 ;
LL N, M, P, X[MAXN] ;

inline LL Read() {
    LL X = 0, F = 1 ; char ch = getchar() ;
    while (ch > '9' || ch < '0') F = (ch == '-' ? - 1 : 1), ch = getchar() ;
    while (ch >= '0' && ch <= '9') X=(X<<1)+(X<<3)+(ch^48), ch = getchar() ;
    return X * F ;
}

inline LL QuickPow(LL A, LL B) {
    LL Ans = 1 ;    if (! B) return 1 % P ;
    while (B) {
        if (B & 1) Ans = Ans * A % P ;
        A = A * A % P, B >>= 1 ;
    }   return Ans ;
}

inline LL C(LL A, LL B) {
    if (B > A) return 0 ;
    return (X[A] * QuickPow(X[B], P - 2)) % P * QuickPow(X[A - B], P - 2) % P ;
}

inline LL Lucas(LL A, LL B) {
    if (! B) return 1 ;
    else return (C(A % P, B % P) * Lucas(A / P, B / P)) % P ;
}

int main() {
    int T = Read() ; while (T --) {
        N = Read(), M = Read(), P = Read() ;
        X[0] = 1 ;
        for (LL i = 1 ; i <= P ; i ++) 
            X[i] = (X[i - 1] * i) % P ;
        LL Ans = Lucas(N + M, N) ; 
        printf("%lld
", Ans) ;
    }   return 0 ;
}