广义逆阵

Posted 2021-02-01 codedog123

广义逆阵$A^+$

设$A=A_{n imes n}$，具有如下四个性质：

(1)$AXA=A$

(2)$XAX=X$

(3)$(AX)^{H}=AX$

(4)$(XA)^{H}=XA$

称$X$为$A$的广义逆阵，记为$X=A^+$

 

常见的$A^+$：

(1)$0_{m imes n}^+=0_{n imes n}$

(2)可逆方阵$A=A_{n imes n}$，$A^+=A^{-1}$

(3)一阶复数阵a：$a=0 Rightarrow a^+=0$，$a e 0 Rightarrow a+^=frac{1}{a}$

 

$A^+$的唯一性：给定A后，只有唯一的$A^+$。

 

求解$B^+$：

(1)若$B=B_{m imes r}$，$rank(B)=r$，即B为高阵，则$B^+=B_L=(B^HB)^{-1}B^H$，且$B^+B=I$

(1)若$B=B_{r imes n}$，$rank(B)=r$，即B为低阵，则$B^+=B_L=B^H(BB^H)^{-1}$，且$BB^+=I$

(3)高低分解公式：$A=A_{m imes n}=BC$为高低分解，则有$A^+=C^+B^+$且B^+B=CC^+=I，其中$B^+=(B^HB)^{-1}B^H, C^+=C^H(CC^H)^{-1}$。

(4)

[egin{array}{l}
B = left[ {egin{array}{*{20}{c}}
A&0
end{array}} ight] Rightarrow {B^ + } = left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{{A^ + }}\
{{0^ + }}
end{array}} ight]\
B = left[ {egin{array}{*{20}{c}}
A\
0
end{array}} ight] Rightarrow {B^ + } = left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{{A^ + }}&{{0^ + }}
end{array}} ight]
end{array}]

(5)(正SVD分解)若$A=P Delta Q^H$，为正SVD，P和Q为列半酉阵，$P^HP=Q^HQ=I$，则$A^+=QDelta^{-1}P^H$

(6)(秩1分解)若$A=A_{m imes n}$且$rank(A)=1$，则$A+={sum {left| {{a_{ij}}^2} ight|} }$

(7)(QR分解)若$A=QR$，$Q^HQ=I$，则$A^+=R^+Q^+=R^-1Q^+$

(8)(谱分解)若A为正规阵，且有谱分解$A=lambda_1G_1+lambda_2G_2+...+lambda_kG_k$，则$A^+=lambda_1^+G_1+lambda_2G_2^++...+lambda_kG_k^+$

(9)

(i)若P为列半酉阵($Q^HQ=I$)，则$P^+=P^H$

(ii)若P为列半酉阵($QQ^H=I$)，则$P^+=P^H$

(iii)$(A^H)^+=(A^+)^H$