P4443 [COCI2017-2018#3] Dojave（线段树）

Posted 2021-02-01 bztminamoto

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设(lim=2^n-1)，对于一个区间([l,r])来说，如果(sum eq lim)且能换出(x)并换进(y)来，使得(sumigoplus a_xigoplus a_y=lim)，那么(a_xigoplus a_y)是个定值，所以如果对于每一个(x)，它对应的(y)都在([l,r])之间，这个区间就是不合法的

因为有一一对应关系，所以整个区间是由若干个二元组构成的，(sum)不管异或上哪个二元组都等于(lim)，所以如果二元组个数为偶数，所有二元组异或起来为(0)，(sum)也为(0)，如果二元组个数是奇数，那么(sum)就等于二元组的值，则有(a_xigoplus a_y=lim)

综上，一个区间不合法当且仅当这个区间长度为(4)的倍数且这个区间内每一个的(x)，与它对应的(a_xigoplus a_y=lim)的(y)都在区间内

那么把每个点和它对应的(y)连边，那么这个区间内就不能有边连到外面。记(cnt_i)为点(i)被边覆盖的次数，那么当(i)作为不合法区间的右端点时，最右边的能作为这个不合法区间左端点的为(j)，满足(cnt_j=cnt_i)，且对于任意(j<p<i)，(cnt_p eq cnt_i)，简单来说就是前面一个与它覆盖次数相等的点

然而这个点不一定合法，所以可以用线段树之类的来做一下判定

记(dp_{i,0/1})为以(i)为右端点的，长度(len\%4=0/2)的区间个数，那么则有转移[dp_{i,0}=dp_{las_i,len\%4}+1]
[dp_{i,1}=dp_{las_i,len\%4igoplus1}]
其中(las_i)就是之前说的最右边的能作为不合法区间的左端点，那个要加一是要加上一个空集

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='
';
}
const int N=(1<<20)+5;
struct node{int mn,mx;}tr[N<<2];
int to[N],las[N],a[N],pos[N],nxt[N],dp[N][2];
int n,m,cnt;ll ans;
void build(int p,int l,int r){
    if(l==r)return (void)(tr[p]={to[l],to[l]});
    int mid=(l+r)>>1;
    build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
    tr[p].mn=min(tr[ls].mn,tr[rs].mn);
    tr[p].mx=max(tr[ls].mx,tr[rs].mx);
}
node query(int p,int l,int r,int ql,int qr){
//  if(l<=r)printf("%d %d %d %d
",l,r,ql,qr);
    if(ql<=l&&qr>=r)return tr[p];
    int mid=(l+r)>>1;node res={m,0};
    if(ql<=mid){
        node d=query(ls,l,mid,ql,qr);
        cmin(res.mn,d.mn),cmax(res.mx,d.mx);
    }
    if(qr>mid){
        node d=query(rs,mid+1,r,ql,qr);
        cmin(res.mn,d.mn),cmax(res.mx,d.mx);
    }return res;
}
inline bool check(int l,int r){
    node res=query(1,1,m,l,r);
    return res.mn>=l&&res.mx<=r;
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),m=(1<<n);
    if(n==1)return puts("2"),0;
    fp(i,1,m)a[i]=read(),pos[a[i]]=i;
    fp(i,1,m)to[i]=pos[a[i]^(m-1)];
    fp(i,1,m)if(to[i]<i)--cnt,las[i]=nxt[cnt],nxt[cnt]=i;
    else ++cnt,nxt[cnt]=i;
    ans=1ll*m*(m+1)/2;
    build(1,1,m),dp[0][0]=1;
    fp(i,1,m){
        dp[i][0]=1;
        if(to[i]>i)continue;
//      printf("%d %d
",las[i]+1,i);
        if(check(las[i]+1,i)){
            int len=(i-las[i])%4/2;
            ans-=dp[las[i]][len];
            dp[i][0]=dp[las[i]][len]+1;
            dp[i][1]=dp[las[i]][len^1];
        }
    }printf("%lld
",ans);
    return 0;
}