一类dp的网格模型

Posted 2021-02-01 guessycb

关于形如(f_{i,j} = sum_{t=1}^{|w|}sum_{k=1}^{|v|}f_{i+w_t,j+v_k})，其中(w_t,v_k)为一个定值的(dp)转移。
可以考虑放到坐标上，画出其转移路线，然后考虑组合意义。

Section1

求(sum_{i,j} inom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j})，其中(a,bleq 4000,nleq 10^6)。

(inom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j})等价于从((-a_i,-b_i))走到((a_j,b_j))的方案数。
建图后直接从左下往右上暴力(dp)出解。

Section2

定义一个(n)的排列合法，当且仅当：设(n)的位置为(x)，有：
[p_1<p_2<p_3....<p_{x-1}<p_x>p_{x+1}>....>p_{n-1}>p_n]
有(m)个限制((pos,v))，形如(p_{pos} = v)，
数据范围：(mleq nleq 10^5)，求合法排列数。

考虑从小往大放，设(f_{i,j})表示放完(1,2...i)，左侧放了(j)个。
转移方程：(f_{i,j} =f_{i-1,j-1} +f_{i-1,j})。
初始在((0,0))每次放一个相当于移动((+1,0))或((+1,+1))。
限制相当于限制(f_{v,j})必须通过特定方向到达该点。
而每一列最多就两个特殊点，直接对特殊点进行(dp)，最后一列特殊处理一下即可。

Section3

[JLOI2015]骗我呢

考虑突变的位置，设(f_{i,j})表示做到第(i)行，该行突变位置为(j)。
有：(f_{i,j} = f_{i,j-1} +f_{i-1,j+1})，其中(f_{i,0} = f_{i-1,0})。
画出转移路线，把转移路线拽直可以发现，问题转化为：
从((0,0))出发，到达((n+m,n))，且不经过(y=x+2)和(y=x-(m+1))的方案数u。
容斥计算。

Section4

[NOI2018]冒泡排序

设(f_{i,j})表示还剩下(i)个要放，前面的最大值为(j)的方案数。
显然当前点要么放比(j)大的数，要么放还没放的数中最下的那个。
由于我们是逆推所以：(f_{i,j} = f_{i-1,j} + sum_{k=j+1}^{n} f_{i-1,k} = sum_{k=j}^n f_{i-1,k})。
考虑统计答案，枚举在哪个点(i)开始处于自由态。
由于不会放(a_i)，而(a_ileq max_{pre})，所以一定只能放比(max_{pre})大的数。
此时的方案数为(sum_{k=max_{pre}+1}^n f_{n-i,k} = f_{n-i+1,max_{pre}+1})。
唯一的问题变为如何快速处理(f)。
显然合法的(f_{i,j})需要满足(jge n-i)，画出转移路线图，问题转化为：
从((0,n))出发，不经过(y=-x+(n-1))到达((i,j))的方案数。
这是经典问题，答案为 (inom{i+n-j}{i} - inom{i+n-j}{i+1})。