机器学习之线性回归

Posted 2021-02-01 chenyoude

目录

• 预测数值型数据：回归
  • 用线性回归找到最佳拟合直线
    • 程序8-1 标准回归函数和数据导入函数
    • 程序8-2 基于程序8-1绘图
    • 图片8-1 ex0的数据集和它的最佳拟合直线
  • 局部加权线性回归
    • 图片8-2 参数k与权重的关系
    • 程序8-3 局部加权线性回归函数
    • 图片8-3 局部加权线性回归结果
  • 示例：预测鲍鱼的年龄
  • 缩减系数来“理解”数据
    • 岭回归
    • 前向逐步回归
  • 权衡偏差与方差
  • 示例：预测乐高玩具套装的价格
    • 收集数据：使用 Google 购物的 API
    • 训练算法：建立模型
  • 本章小结

预测数值型数据：回归

代码中涉及的数学公式可以自己下载 Typora 这款软件后，把内容复制到.md文件内通过 Typora 打开
本章内容

• 线性回归
• 局部加权线性回归
• 岭回归和逐步线性回归
• 预测鲍鱼年龄和乐高玩具价格

前面的章节给大家介绍了监督学习的分类部分，接下来几章将会带领同学们翱翔浩瀚的回归海洋，注意此回归不是 Logistic 回归(Logistic 回归之所以取名为这是因为历史遗留问题)。具体是什么，那就开始让我们来揭秘吧！
注意： 分类的目标变量是标称型数据；回归的目标变量是连续性数据。

用线性回归找到最佳拟合直线

• 线性回归的优缺点：
  ? 优点：结果易于理解，计算上不复杂
  ? 缺点：对非线性的数据拟合不好
  ? 适用数据类型：数值型和标称型数据
• 回归的目的：预测数值型的目标值
• 预测汽车功率大小的计算公式：
  功率 = 0.0015 * 耗油量 + 0.99 * 百米加速时长 (纯属虚构，请勿模仿)
• 回归方程：上述计算公式即回归方程
• 回归系数：上述计算公式中的0.0015和0.99
• 预测值：给定所有待输入的特征值乘以对应的回归系数的总和
• 非线性回归：输出为输入的乘积，例：功率 = 0.0015 * 耗油量 * 百米加速时长
• 回归的一般方法：
  1. 收集数据：采用任意方法收集数据
  2. 准备数据：回归需要数值型数据，标称型数据将被转成数值型数据
  3. 分析数据：可视化数据，采用缩减法求得新回归系数后绘图再与上一张图比较
  4. 训练算法：找到合适的回归系数
  5. 测试算法：使用 R^2^或者预测值和数据的拟合度，来分析模型的效果
  6. 使用算法：使用回归预测连续性数据的类别标签
• 矩阵x：输入的所有数据
• 向量 w：与数据对应的回归系数
• 预测结果 Y~1~：$Y_1={X^T}_1w?$
• 平方误差：$sum_{i=1}^m(y_i-{x^T}_iw)^2$
• 矩阵表示平方误差：$(y-Xw)^T(y-Xw)$
• 平方误差对 w 求导：$X^T(Y-Xw)$
• 平方误差对 w 求导等于零得：$hat{w}=(X^TX)-1X^Ty$

• w 上方的标记含义：当前可以估计出 w 的最优解，即 w 的一个最佳估计
• 上述公式包含$(X^TX)^{-1}$，即该方程中的 X 必须存在逆矩阵
  注意：不要纠结于公式，这不会影响你学习机器学习

程序8-1 标准回归函数和数据导入函数

# coding: 'utf-8'
import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from path_settings import machine_learning_PATH

data_set_path = os.path.join(machine_learning_PATH, '第八章/data-set')
ex0_path = os.path.join(data_set_path, 'ex0.txt')
ex1_path = os.path.join(data_set_path, 'ex1.txt')
abalone_path = os.path.join(data_set_path, 'abalone.txt')


def load_data_set(filename):
    # 文本第一行值全为0的解释：简单说是因为两个矩阵相乘一个矩阵的行和另一个矩阵的列得相等，具体可查资料
    num_feat = len(open(filename).readline().split('	')) - 1

    data_mat = []
    label_mat = []

    fr = open(filename)
    for line in fr.readlines():
        line_arr = []
        cur_line = line.strip().split('	')
        for i in range(num_feat):
            line_arr.append(float(cur_line[i]))
        data_mat.append(line_arr)
        label_mat.append(float(cur_line[-1]))

    return data_mat, label_mat


def stand_regres(x_arr, y_arr):
    x_mat = np.mat(x_arr)
    y_mat = np.mat(y_arr)
    x_tx = x_mat.T * x_mat

    # 判断矩阵是否为奇异矩阵，即矩阵是否有逆矩阵
    if np.linalg.det(x_tx) == 0:
        print("奇异矩阵没有逆矩阵")
        return

    ws = x_tx.I * (x_mat.T * y_mat.T)

    # 求解未知矩阵
    # ws = np.linalg.solve(x_tx,x_mat.T*y_mat.T)

    return x_mat, y_mat, ws


def test_stand_regres():
    x_arr, y_arr = load_data_set(ex0_path)
    _, _, ws = stand_regres(x_arr, y_arr)
    print(ws)


if __name__ == '__main__':
    test_stand_regres()

程序8-2 基于程序8-1绘图

def plot_stand_regres(x_mat, y_mat, ws):
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(x_mat[:, 1].flatten().A[0], y_mat.T[:, 0].flatten().A[0])
    x_copy = x_mat.copy()
    x_copy.sort(0)
    y_hat = x_copy * ws
    ax.plot(x_copy[:, 1], y_hat)
    plt.show()


def test_plot_stand_regres():
    x_arr, y_arr = load_data_set(ex0_path)
    x_mat, y_mat, ws = stand_regres(x_arr, y_arr)
    plot_stand_regres(x_mat, y_mat, ws)

    # 判断拟合效果
    print(np.corrcoef((x_mat * ws).T, y_mat))
    '''
        [[1.         0.98647356]
        [0.98647356 1.        ]]
    '''


if __name__ == '__main__':
    # test_stand_regres()
    test_plot_stand_regres()

图片8-1 ex0的数据集和它的最佳拟合直线

局部加权线性回归

• 局部加权线性回归：给待预测点附近的每个点赋予一定的权重

• 局部加权线性回归求回归系数公式：$hat{w}=(X^TWX)^{-1}X^TWy$

• W：给每个数据点赋予权重的矩阵
• LWLR使用“核”(类似于支持向量机中的核)来对附近的点赋予更高的权重。
• 最常用的核——高斯核：$w(i,i)=expleft({frac{|x^{(i)}-x|}{-2k^2}} ight)$

• 点 x 与 x(i)越近，w(i,i)将会越大，参数 k 决定了对附近的点赋予多大的权重。

图片8-2 参数k与权重的关系

• 假定我们正预测的点是 x=0.5，最上面的是原始数据集，第二个图显示了当 k=0.5 时，大部分数据都用于训练回归模型；最下面的图显示当 k=0.01 时，仅有很少的局部点被用于训练回归模型。

程序8-3 局部加权线性回归函数

def lwlr(test_point, x_arr, y_arr, k=1):
    """给样本点增加权重，参数 k 控制衰减的速度"""
    x_mat = np.mat(x_arr)
    y_mat = np.mat(y_arr)

    m = np.shape(x_mat)[0]

    # 创建对角权重矩阵。该矩阵对角线元素全为1，其余元素全为0
    weights = np.mat(np.eye(m))

    for j in range(m):
        diff_mat = test_point - x_mat[j, :]
        weights[j, j] = np.exp(diff_mat * diff_mat.T / (-2 * k ** 2))

    x_tx = x_mat.T * (weights * x_mat)

    if np.linalg.det(x_tx) == 0:
        print("奇异矩阵没有逆矩阵")
        return

    ws = x_tx.I * (x_mat.T * (weights * y_mat.T))

    return test_point * ws


def lwlr_test(test_arr, x_arr, y_arr, k=1):
    """使数据集中每个点调用 lwlr 方法"""
    m = np.shape(test_arr)[0]

    y_hat = np.zeros(m)

    for i in range(m):
        y_hat[i] = lwlr(test_arr[i], x_arr, y_arr, k)

    return y_hat


def test_lwlr_test():
    x_arr, y_arr = load_data_set(ex0_path)
    y_hat = lwlr_test(x_arr, x_arr, y_arr, 0.003)
    print(y_hat)


def plot_lwlr(x_sort, y_hat, str_ind, x_mat, y_mat):
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)

    ax.plot(x_sort[:, 1], y_hat[str_ind])

    ax.scatter(x_mat[:, 1].flatten().A[0], y_mat.T[:, 0].flatten().A[0], s=2, c='red')

    plt.show()


def test_plot_lwlr():
    x_arr, y_arr = load_data_set(ex0_path)
    x_mat = np.mat(x_arr)
    y_mat = np.mat(y_arr)
    y_hat = lwlr_test(x_arr, x_arr, y_arr, 0.01)
    str_ind = x_mat[:, 1].argsort(0)
    x_sort = x_mat[str_ind][:, 0, :]

    plot_lwlr(x_sort, y_hat, str_ind, x_mat, y_mat)


if __name__ == '__main__':
    # test_stand_regres()
    # test_plot_stand_regres()
    # test_lwlr_test()
    test_plot_lwlr()

图片8-3 局部加权线性回归结果

示例：预测鲍鱼的年龄

缩减系数来“理解”数据

岭回归

前向逐步回归

权衡偏差与方差

示例：预测乐高玩具套装的价格

收集数据：使用 Google 购物的 API

训练算法：建立模型

本章小结

==尊重原创==
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