[CF850F] Rainbow Balls

Posted 2021-02-01 guessycb

题目大意

这里

题解

我们枚举最后剩下的球的种类，那么其他球可以看做没用了。
设选定的球有(a_i)个，球的总数为(s=sum_{i=1}^n a_i)。
现在问题变为：在一个长度为(s)的数轴上，初始在(a_i)，问在不到达(0)的前提下到达(s)的期望步数。
设(p_i)表示在(i)点，向前/后移动一步的概率，有：(p_i = frac{i(s-i)}{s(s-1)})。
可以列出一个比较显然的式子：
[f_i = (1-2p_i) f_i + p_i f_{i-1} + p_i f_{i+1} + step_i]
注意(step_i = frac{i}{s})，为什么？
感性理解一下。
想象你有一张很大的图，有一些节点是终止节点。
现在你要从当前节点向某个后继节点走一步，要算到达任意一个终止节点的期望步数。
由于我们现在选定了一个终止节点。
那么假设走到了(0)号点，就相当于走到了去往另一个终止节点的路径。
不妨把这"1"步拆分成若干份，这若干份的和为(1)，分开计算。
由于走到(0)就会走到另一条路径上去，所以每一份不妨设为不走到其它路径上的概率。
所以(step_i)为从(i)点出发，不走到(0)的条件下走到(s)的概率。
这是一个经典问题了，很容易得到(step_i = frac{i}{s})。
树上高消肯定是可以的，然而需要求逆复杂度为(O((sum a)logn))无法通过此题。
所以我们需要进一步深入。
带入(step_i = frac{i}{s})，稍微变换后有：
[f_i - f_{i+1} = (f_{i-1}-f_i) +frac{s-1}{s-i}]
所以可以得到：(f_{i}-f_{i+1} = (f_1-f_2) + sum_{j=2}^{i}frac{s-1}{s-j})
那么有：
[f_1 = sum_{i=1}^{s-1} (f_i - f_{i+1}) = (s-1)(f_1-f_2)+sum_{i=2}^{s-1}sum_{j=2}^{i} frac{s-1}{s-j}]
而(sum_{i=2}^{s-1}sum_{j=2}^{i} frac{s-1}{s-j} = sum_{i=2}^{s-1} (s-i) frac{s-1}{s-i} =(s-2)(s-1))。
所以(f_1 = (s-1)(f_1-f_2) + (s-2)(s-1))。
而由于(f_0)属于另一条路径，即不存在，故(f_1 = (1-2p)f_1 +pf_2 + frac{1}{s})。
化简有：(2f_1 = f_2 + 1)，所以(f_1 - f_2 = 1 - f_1)。
所以有：
[f_1 = (s-1)(1-f_1) +(s-2)(s-1)]
解得(f_1 = frac{(s-1)^2}{s})，即(f_1-f_2 = 1-frac{(s-1)^2}{s})
而我们知道(f_{i}-f_{i+1})与(f_{i-1}-f_i)之间的关系，所顺次推出所有(f_i)即可。
答案(ans = sum_{i=1}^n f_{a_i})，复杂度(O(max(a)logn))。