XSY3309Dreamweaver 高斯消元 拉格朗日插值

Posted 2021-02-01 ywwyww

题目大意

　　这是一道通信题。

　　给你 (8) 个 (32) 位整数。加密端要把这些数加密成至少 (1000) 个 (32) 位整数，交互库会把这些整数随机打乱后发给解密端，解密端最多能获得其中 (lim) 个的值，解密端要按顺序给出这 (8) 个整数。

　　交互库会测试 (100) 次。

　　对于 (limgeq 50) 的测试点，要求 (100\%) 的正确率。

　　对于 (limgeq 20) 的测试点，要求 (90\%) 的正确率。

　　对于 (limgeq 17) 的测试点，要求 (50\%) 的正确率。

题解

解法一

　　先把这些数拆成 (16) 个 (16) 位整数。

　　然后每次随机选一些数异或到一起，前 (16) 位为这些数的异或值，后 (16) 位为选了那些数。

　　解密端随机 (lim) 个数，求出这些数能不能解出原来的 (16) 个数。

　　如果 (lim imes 16) 的矩阵满秩就能求出。

　　(17 imes 16) 的矩阵满秩的概率约为 (58\%)。

　　(20 imes 16) 的矩阵满秩的概率约为 (94\%)。

　　(50 imes 16) 的矩阵满秩的概率约为 (100\%)。

解法二

　　还是先把这些数拆成 (16) 个 (16) 位整数，记为 (a_0,a_1,ldots,a_{15})。

　　记 (f(x)=sum_{i=0}^{15}a_ix^i)。

　　取一个合适大小的整数 (p)。

　　对于 (0leq i<1000)，返回 (i+(f(i)mod p) imes 1000)。

　　解密端随便选 (16) 个数就能插值插出 (a_0,a_1,ldots,a_{15})。

　　正确率为 (100\%)。

代码

解法一

#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
vector<int>encode(vector<int>arr,int lim)
{
    static unsigned a[100];
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]=0;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        unsigned v=arr[i];
        a[i*2]=v&((1<<16)-1);
        a[i*2+1]=v>>16;
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]|=1<<(i+16);
    vector<int>vec;
    for(int i=0;i<1<<16;i++)
    {
        unsigned s=0;
        for(int j=0;j<16;j++)
            if((i>>j)&1)
                s^=a[j];
        vec.push_back(s);
    }
    return vec;
}
static unsigned seed=1932532;
static unsigned get()
{
    seed^=seed<<13;
    seed^=seed>>17;
    seed^=seed<<5;
    return seed;
}
vector<int>decode(int(*const arr)(int),int n,int lim){
    static unsigned a[100],b[1000000],c[1000000];
    for(int i=0;i<1<<16;i++)
        c[i]=i;
    for(int i=0;i<1<<16;i++)
    {
        int y=get()%(i+1);
        if(y!=i)
            swap(c[i],c[y]);
    }
    for(int i=0;i<lim;i++)
        b[i]=arr(c[i]);
    vector<int>vec;
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        int x=lim;
        for(int j=i;j<lim;j++)
            if(b[j]&(1<<(16+i)))
            {
                x=j;
                break;
            }
        if(x>=lim)
        {
            for(int i=0;i<8;i++)
                vec.push_back(0);
            return vec;
        }
        if(x!=i)
            swap(b[x],b[i]);
        for(int j=0;j<lim;j++)
            if(j!=i&&(b[j]&(1<<(16+i))))
                b[j]^=b[i];
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        b[i]&=(1<<16)-1;
    for(int i=0;i<8;i++)
        vec.push_back((b[i*2+1]<<16)|b[i*2]);
    return vec;
}

解法二

#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
static const ll p=100003;
vector<int>encode(vector<int>arr,int lim)
{
    static unsigned a[100];
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]=0;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        unsigned v=arr[i];
        a[i*2]=v&((1<<16)-1);
        a[i*2+1]=v>>16;
    }
    vector<int> vec;
    for(int i=0;i<1000;i++)
    {
        ll s=0;
        for(int j=15;j>=0;j--)
            s=(s*i+a[j])%p;
        vec.push_back(i+s*1000);
    }
    return vec;
}
static ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
vector<int>decode(int(*const arr)(int),int n,int lim){
    static unsigned a[100],b[100];
    static ll x[1000],y[1000],ans[1000],e[1000];
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        b[i]=arr(i);
        x[i]=b[i]%1000;
        y[i]=b[i]/1000;
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        ans[i]=0;
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        for(int j=0;j<16;j++)
            e[j]=0;
        e[0]=1;
        for(int j=0;j<16;j++)
            if(j!=i)
            {
                for(int k=15;k>=0;k--)
                {
                    e[k+1]=(e[k+1]+e[k])%p;
                    e[k]=-e[k]*x[j]%p;
                }
            }
        ll s=y[i];
        for(int j=0;j<16;j++)
            if(j!=i)
                s=s*fp(x[i]-x[j],p-2)%p;
        for(int j=0;j<16;j++)
        {
            e[j]=e[j]*s%p;
            ans[j]=(ans[j]+e[j])%p;
        }
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]=(ans[i]+p)%p;
    vector<int>vec;
    for(int i=0;i<8;i++)
        vec.push_back((a[i*2+1]<<16)|a[i*2]);
    return vec;
}