[BJOI2010] 严格次小生成树

Posted 2021-02-01 fengxunling

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一个严格次小生成树的模板题。

看到次小生成树，我们有一个很直观的想法就是先构造出来最小生成树，然后将这个最小生成树上面最大的一条边替换成和它值最相近而且比他大的边。

那么首先就是用kruskal算法算出来最小生成树，我们称在这个最小生成树上面的边为树边（打上标记），不在的边为非树边。

之后就是用非树边替换树边了。

考虑怎么替换。我们可以通过枚举每一条非树边，然后找到这条边对应的两端节点在最小生成树上的最大边权，然后替换。

正确性显然，因为非树边肯定比树边劣，而当我们替换了树边之后，肯定是次小的。

但是要注意一点就是这个题是严格次小的，所以我们在记录最大值的时候还要记录次大值。

然后就是如何找最小生成树上两个点之间的边权最大值和次大值。观察数据范围，3e5的数据显然不能一个一个暴力，那么就是倍增或者树剖优化了。

在这里给出倍增的做法，代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define MAXN 300010
using namespace std;
int n,m,t;
long long res=(long long)1e15,sum;
int head[MAXN],dis[MAXN],fa[MAXN],g[MAXN][32],done[MAXN],dep[MAXN],maxx1[MAXN][32],maxx2[MAXN][32];
struct Edge{int nxt,to,dis,from;}edge[MAXN<<1],pre[MAXN<<1];
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline bool cmp(struct Edge x,struct Edge y){return x.dis<y.dis;}
inline void add(int from,int to,int dis){edge[++t].nxt=head[from],edge[t].to=to,edge[t].dis=dis,head[from]=t;}
inline void init()
{
    for(int k=1;k<=21;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            g[i][k]=g[g[i][k-1]][k-1];
            maxx1[i][k]=max(maxx1[g[i][k-1]][k-1],maxx1[i][k-1]);
            if(maxx1[i][k-1]==maxx1[g[i][k-1]][k-1])
                maxx2[i][k]=max(maxx2[i][k-1],maxx2[g[i][k-1]][k-1]);
            else
            {
                maxx2[i][k]=min(g[i][k-1],maxx1[g[i][k-1]][k-1]);
                maxx2[i][k]=max(maxx2[i][k],max(maxx2[i][k-1],maxx2[g[i][k-1]][k-1]));
            }
        }
}
inline void kruskal()
{
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a=find(pre[i].from),b=find(pre[i].to);
        if(a!=b) 
        {
            fa[a]=b,done[i]=1;
            cnt++,sum+=pre[i].dis;
            add(pre[i].from,pre[i].to,pre[i].dis);
            add(pre[i].to,pre[i].from,pre[i].dis);
        }
        if(cnt==n-1) return;
    }
}
inline void dfs(int now)
{
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(v!=g[now][0])
            g[v][0]=now,maxx1[v][0]=edge[i].dis,dep[v]=dep[now]+1,dfs(v);
    }
}
inline void calc(int x,int &m1,int &m2,int k)
{
    if(maxx1[x][k]>m1) m2=m1,m1=maxx1[x][k];
    else if(maxx1[x][k]<m1) m2=max(m2,maxx1[x][k]);
    m2=max(m2,maxx2[x][k]);
}
inline void lca(int x,int y,int w)
{
    int cur_max1=0,cur_max2=0;
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=21;i>=0;i--)
        if((dep[x]-dep[y])&(1<<i))
            calc(x,cur_max1,cur_max2,i),x=g[x][i];
    if(x==y) {res=min(res,1ll*(w==cur_max1?w-cur_max2:w-cur_max1)); return;}
    for(int i=21;i>=0;i--)
        if(g[x][i]!=g[y][i])
            calc(x,cur_max1,cur_max2,i),calc(y,cur_max1,cur_max2,i),x=g[x][i],y=g[y][i];
    calc(x,cur_max1,cur_max2,0),calc(y,cur_max1,cur_max2,0);
    res=min(res,1ll*(w==cur_max1?w-cur_max2:w-cur_max1));
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("ce.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&pre[i].from,&pre[i].to,&pre[i].dis);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    sort(&pre[1],&pre[m+1],cmp);
    kruskal();
    dep[1]=1;
    dfs(1);
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(done[i]==1) continue;
        lca(pre[i].from,pre[i].to,pre[i].dis);
    }
    printf("%lld
",sum+res);
    return 0;
}