整除分块

Posted 2021-02-01 zcy0917

哒哒哒哒哒......

想要学好莫比乌斯反演，那么整除分块，你一定要会！

1. 首先，可以用到整除分块的形式：
2. 这个式子的时间复杂度是O(n)。但是有的时候因为多组数据的要求，可能O(n)并不是正确的时间复杂度。
3. 那么这个时候，我们就有一种O（√¯n）的做法。这就是：整除分块！
4. 对于每一个我们可以通过打表的方式(或理性的证明)发现：有许多的值是一样的，而且它们呈一个块状分布；
5. 再通过打表之类的各种方法,我们惊喜的发现对于每一个值相同的块，它的最后一个数就是n/（n/i）。
6. 得出这个结论后，我们就可以做O（√¯n）的处理了。

核心代码实现：

for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
    {                                   
    r=n/(n/l);                                                       
    ans+=(r-l+1)*(n/l);                                            
    }

挞哒!

如果你很懒很懒，以至于不想自己模拟的话，那么我们就来举个栗子吧！

当n=22时

首先，手动打表得到（向下取整后的结果）：

                             

 我们不难看出：

                              

有重复+有分块！

因为是向下取整，所以得到的结果乘以这个块里最大的那个数（i）所得的积在这个块里离原数（n=22）最近；又因为i是从小到大的。

所以：在同一块内，它的最后一个数（序号）就是n/（n/i）。

从代码角度看：

（如果图片看不太清，请将图片用浏览器打开，又大又清晰）

 

 

↓

 

白色部分可以清晰看出，在那个块里只有一个数。

而未标记部分所属的块里有很多数，其实在这里也可以看出整除分块的优越性。

over！

参考相关博客：http://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8661118.html