DSP基本名词术语和它们之间的关系，您都清楚吗？

Posted 2021-02-01 smallqing

对采集到的时域信号进行数字信号处理（DSP），得到它们的频域结果。那么，信号从时域变换到频域时有一些专门的DSP名词术语，并且这些名词术语之间有着重要的数学关系，您都清楚吗？这些DSP名词术语如下所示。

 

时域

帧长度/frame size ------------------------ T

时间间隔/时间分辨率 ---------------- Δt

数据块大小 --------------------------------- N

 

频域

采样率 ---------------------------------------- fs

最大频率/带宽 -------------------------- fmax

频率分辨率 ------------------------------- Δf

谱线数-------------------------------------- N/2

 

1.帧长度/frame size：T

进行一次FFT分析所截取的时域信号长度，称为1帧或frame size，单位为s，也称1个时域数据块。由于实际采集的时域信号时间很长，而一次FFT分析只能分析有限长度的时域信号，因此，需要将采样时间很长的时域信号截断成一个一个的frame size。这个过程叫做信号截断。而信号截断又分为周期截断和非周期截断（后续将有文章对此进一步详细描述）。

 

假设有一段10s的时域信号，取1帧的长度T=1s，无重叠，则该信号将被截断为10帧，如下图所示。按此规律进行FFT计算，将得到10个瞬时频谱，如果将这些瞬时频谱进行平均，那么平均次数为10次，最终的FFT分析结果为这10个瞬时频谱的平均结果。

?

以上是没有考虑信号重叠的，有时会用百分比来表示重叠，若重叠50%，表示这一帧的信号将与下一帧的信号有50%是共用的。也就是第一帧的后50%作为第二帧的前50%。有时也用时间增量或转速增量来表示，在这以时间增量为例进行说明。我们每截取的一帧时间长度是固定的，但是隔多长时间截取一帧呢？这个隔多长时间截取一帧，就是所谓的步长或增量(increment)，如下图所示。

?

当增量小于frame size时，相邻两帧数据之间有重叠，重叠率计算公式如下

重叠率 = (frame size – increment)/frame size *100%

 

当增量等于frame size时，相邻两帧数据之间无重叠，但两帧数据刚好无缝连接，如第一个图所示。

 

当增量大于frame size时，相邻两帧数据之间无重叠，但两帧数据之间有间隙，也就是有部分时域数据是不参与FFT计算的。

 

2. 时间间隔/时间分辨率：Δt

相邻两个时域数据点的采样时间差，称为时间间隔或时间分辨率，等于采样频率的倒数，单位为s。时间分辨率越小，采样率越高，采样越密集，信号越接近真实信号，时间分辨率如下图所示。假设采样频率为1000Hz，则时间分辨率为1ms，表示采集两个数据点的时间间隔为1ms，同时表明1s采集1000个数据点。

?

3. 数据块大小：N

一帧数据所对应的数据点数（样本点），称为时域数据块大小（time block size），如上图中黑色实心点，即表示1个数据点。因此，一帧数据除用时间长度来描述之外，也可以用数据点数来描述。它们之间的关系如下：

T=NΔt

 

因此，一帧数据包含多少个数据点，是可以计算出来的。有的软件不是通过设置频率分辨率的大小来决定一帧数据的长度（等于频率分辨率的倒数），而是通过设置数据块大小N来决定一帧数据的长度，像DASP就是这样的设置模式。

 

4. 采样率：fs

由于计算机不能处理模拟信号，因此，必须通过采样将模拟信号转换成数字信号。用来表征采样快慢的参数称为采样（频）率，单位为Hz。本质上，我更愿意叫采样频率为采样率，因为它表征的是采样的速率，采样率高，则采样快。采样率是表示每秒钟采集多少个样本点（或数据点），也可用sample/s或样本点数/秒表示。

 

采样频率越高，采两点的时间间隔越短，采集到的数字信号越接近真实信号。还记得我们之前说过，采样频率多高时才不至于使信号幅值明显失真吗？如果不知道，请翻阅8月2日的文章《采样频率到底多高才不会使信号幅值明显失真？》。

 

5. 最大频率/带宽：fmax

采样频率的一半，称为带宽，或最大分析频率，或奈奎斯特频率。它与采样率的关系如下

fmax= fs/2

也就是说，最后分析出来的所有频率都位于带宽以内，哪怕是存在频率混叠，呈现出来的频率也在这个区间。因此，为了防止高于带宽以上的频率成分混叠到带宽以内，需要在模数转换前进行抗混叠滤波。

 

6. 频率分辨率：Δf

我们已经明白采集到的时域信号是离散的，两个时域数据点的时间差称为时间分辨率。同理，频谱也是离散的，相邻两条谱线的频率差或频率间隔称为频率分辨率。FFT计算得到的结果只位于频率分辨率的整数倍处，也就是谱线处，其他地方无结果，如下图所示。假设图中的虚线为谱线，各条谱线对应的频率为频率分辨率的整数倍。计算得到的频谱结果只位于这样的谱线处。

?

频率结果只能位于各条谱线上，谱线与谱线之间是没有结果的，频谱的这种离散效应，称为栅栏效应。就好像人们通过篱笆看外面的世界一样，只能通过相邻两块篱笆之间的缝隙看到外面的世界，而篱笆却挡住了人们的视线。那么，相邻两块篱笆之间的缝隙比拟为频谱图中的谱线，也只有谱线上才有数据，谱线之间的区域是没有结果的，如下图所示，只有谱线上才有红色的频率结果，最后的频谱曲线是根据这些谱线上的点连成的实线。

?

频率分辨率越大，相邻谱线间隔越远，因此，求得的频率误差越大。FFT分析时，频率误差最大不会大于半个频率分辨率。因为频率也是按四舍五入的原则归到最近的谱线上。频率分辨率的倒数为做一次FFT所截断的时域信号的长度T，也就是一帧数据长度。当频率分辨率越小时，必然一帧数据的长度很大。因此，在做FFT计算时，不能设置过小的频率分辨率，也不能设置过大的频率分辨率，频率分辨率过大可能导致频率误差加大。

 

另一方面，当对旋转机械进行瀑布图分析时，频率分辨率的大小跟转速改变速率有关系。下图分别为0.5Hz和5Hz的频率分辨率的瀑布图结果。0.5Hz对应的时域数据块长度为2s，5Hz对应的时域数据块长度为0.2s，从图中可以看出，5Hz的频率分辨率下各阶次更明显，这是因为相应的时域数据块更短，在这个更短的时间内，转速变化没有0.5Hz对应的时域数据块的转速变化大，因此，频率更清楚。时域数据块越短，越可以认为在该时间段内信号是稳态信号。

?

因此，当作瀑布图分析时，需要根据转速的变化速率来选择合适的频率分辨率。更优的频率分辨率（频率间隔越小），频谱拖尾更严重，特别是在转速高的情况下。信号出现“拖尾”现象是因为信号的频率在采集时域数据块的过程中变化明显。故对于旋转机械的瀑布图分析，您应着重注意频率分辨率对分析结果的影响。

 

7. 谱线数：N/2

频谱图中谱线的总条数，称为谱线数。也可以理解为带宽按频率分辨率进行等分，等分的份数即为谱线数。N个时域样本点的FFT得到N/2条谱线，也就是说两个时域数据点能得到一条谱线。

 

谱线数与带宽、频率分辨率的关系如下

N/2= fmax/Δf

 

由于这三者是相互关联的，因此，当进行数据采集时，只需要设置其中两个参数就可以了，第三个参数，自动变化为相对应的值。像在LMS.Test.Lab软件中，这三个参数的设置界面如下图所示。在这，建议大家设置带宽和频率分辨率这两个参数。因为设置了带宽后，采样频率也就确定了。频率分辨率确定后，谱线数也随之确定了。另外，设置频率分辨率更直观。

?

它们之间的关系

时间分辨率与采样频率的关系：

Δt = 1/fs

 

帧长度与数据块大小、时间分辨率、采样频率和频率分辨率的关系：

T=NΔt = N/fs = 1/Δf

 

带宽与采样频率、频率分辨率、谱线数和帧长度的关系

fmax = fs/2 =Δf*N/2 = N/2*1/T

 

频率分辨率与帧长度、采样频率、数据块大小、带宽和谱线数的关系

Δf = 1/ T = fs /N = fmax /( N/2)

 

用图形表示如下：

?

通过上面的关系式，我们明白了频率分辨率与一帧数据长度的关系。减少一帧数据长度T，相当于增大频率分辨率Δf，意味着差的频率分辨率。要想获得更优的频率分辨率Δf，相当于截取更长的时域数据T，如下图所示，增加一帧数据长度T，分辨分辨率将减小，谱线更密，计算得到的频率更精确。

?