原创算法分享最小二乘法

Posted 2021-02-01 barneywill

Ordinary Least Square 最小二乘法

提到最小二乘法要先提到拟合，拟合Fitting是数值分析的基础工具之一，在二维平面上分为直线拟合和曲线拟合，直线拟合找到一条直线尽可能穿过所有的点，注意这里是尽可能，因为只要超过2个点，就有可能发生直线不能精确穿过所有点的情况，这时确定直线的原则有很多种，最小二乘法就是其中的一种，当直线不能穿过点时产生误差（点和直线的距离），最小二乘法就是让所有点的误差的平方和最小；

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

直线拟合（线性回归）过程如下图：

来看标准定义：

对给定数据点集合  ，在取定的函数类  中，求  ，使误差的平方和  最小，  。从几何意义上讲，就是寻求与给定点集 的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

 

假设直线方程为

则误差为

其中di表示(xi, yi)点的误差

 

所有误差的平方和为

这是一个2次函数，2次函数曲线如图：

2次函数中D的最小值位于导数等于0的点，所以计算D对a和b的两个偏导数为0即可得到两个关于a和b的方程，

最终计算得出a和b的计算公式为：

公式推导过程详见 https://www.cnblogs.com/paiandlu/p/7843236.html