漫谈“采样”（sampling）

Posted 2021-01-31 wuliyttaotao

??越学越懵了，计算机中是怎么进行采样的，用了这么久的 rand() 函数，到现在才知道是怎么做的。

从均匀分布中采样

??计算机中通过 线性同余发生器（linear congruential generator，LCG）很容易从一个 $ x sim Uniform[0, 1)$ 的均匀分布中进行采样。如果要从 (y sim Uniform[a, b)) 的均匀分布中采样，只需要 (x) 的基础上做个变换 (y = (b-a)x + a) 即可。

??当然除了 LCG 外，还有其它均匀分布随机数生成方法，这里不一一列举，可以参考博客随机数生成（一）：均匀分布。

??单独把均匀分布采样摘出来是因为它很基础，很多其它采样方法都是在该基础上进行操作。

对离散型变量采样

??我们现在通过某种方法（比如 LCG）可以生成均匀分布的随机数，这个时候我们就完全可以对某个含有有限个离散取值的变量 (r) 进行采样，方法就是采用轮盘赌选择法。

??假设离散型变量 (r) 有 3 个取值，(a_1, a_2, a_3)，概率分布如下图所示：

图 1 离散型变量 (r) 概率分布

??所有取值概率之和为 1。此时我们可以从 (Uniform[0, 1)) 生成一个随机数 (b)，若 (0 le b < 0.6)，则选择出 (a_1)；若 (0.6 le b < 0.7)，则选择出 (a_2)；若 (0.7 le b < 1)，则选择出 (a_3)。

对连续型变量采样

??上面我们已经讨论了从均匀分布 (U[a,b)) 中采样，对于其余分布，如高斯分布、gamma 分布、指数分布、t 分布、F 分布、Beta 分布、Dirichlet 分布等等，都可以基于 (U[0,1)) 的样本生成。例如高斯分布可以通过 Box-Muller 变换得到：

【Box-Muller 变换】如果随机变量 (U_1,U_2) 独立且 (U_1,U_2 sim Uniform[0, 1])，
[ egin{aligned} Z_0 = sqrt{-2ln U_1} cos (2 pi U_2) _1 = sqrt{-2ln U_1} sin (2 pi U_2) end{aligned} ]

则 (Z_0, Z_1) 独立且服从标准正态分布。

??想要得到服从 (Z_2 sim N(mu, sigma^2)) 的高斯分布，则只需对 (Z_0 sim N(0, 1)) 做如下变换：
[ Z_2 = sigma Z_0 + mu ]

??对于更加一般分布 (p(x))，如下图所示，我们该如何对其进行采样呢？

图 2 分布 (p(x))

??这个时候我们可以使用 rejection sampling。

??Rejection sampling 首先寻找一个简单的分布 (q(x))，然后乘以一个常数 (M)，使其满足 (p(x) le M cdot q(x))，如下图所示，(q(x)) 是一个高斯分布，(M = 2)。

图 2 分布 (p(x)) 和 分布 2q(x)

??在找到一个分布 (2q(x)) 能完全“覆盖”分布 (p(x)) 后，我们任意 sample 一个样本点 (x_i)，但此时，我们将以 (frac{p(x_i)}{2q(x_i)}) 的概率选择去接收这个样本，以 ((1 - frac{p(x_i)}{2q(x_i)})) 的概率选择去拒绝该样本。rejection sampling 平均会接收 (frac{1}{M}) 个样本点。

??rejection sampling 优点：使用 rejection sampling 可以对大多数分布进行采样，即使这些“分布”没有进行归一化。

??rejection sampling 缺点：当 (p(x)) 和 (2q(x)) 相差太多时，rejection sampling 将拒绝大多数样本点；其次，对于高维数据，常数 (M) 会很大，简单使用 rejection sampling 所需要的样本量随空间维数增加而指数增长，即高维情况下不适合用 rejection sampling，此时 MCMC（Markov Chains Monte Carlo）和 Gibbs sampling 才是主流。（当然 MCMC 等既能处理离散情况也能处理连续情况。）

References

线性同余发生器 -- 百度百科
随机数生成（一）：均匀分布 -- MoussaTintin
LDA-math-MCMC 和 Gibbs Sampling -- 靳志辉
MCMC(一)蒙特卡罗方法 -- 刘建平Pinard
Bayesian Methods for Machine Learning: Sampling from 1-d distributions