Codeforces 1091C New Year and the Sphere Transmission|数学

Posted 2021-01-31 fmj123

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题目大意：
有$n$个人坐成一个环，其中第$i$人与第$i+1$人相邻（第$1$个人与第$n$个人相邻）。

现在编号为1的人的手上有一个球，他可以选择一个数$k$($1 le k le n$)。表示每次传给在他后面的第$k$个人。当球重新回到编号为$1$的人时游戏结束。

定义一次游戏的$fun$值为球传到的每个人的编号之和。请从小到大输出所有可能的$fun$值。

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首先，我们看$n$的范围,$n le 10^9$，显然模拟$n$次是不行的。我们要想办法优化。

• 优化方案 A

我们发现 ，$k=i$时与$k=n-i$时的$fun$值是相同的，所以我们可以缩成$n/2$次模拟，但对于这题来说，显然不够。

• 优化方案 B

请自行手玩$k=2$与$K=3$时的情况

通过手玩，我们可以发现，如果$k$ $mod$ $n$不为0时，答案一定为$1+2+3+...+n$。也就是说，当$k$是$n$的约数时，才会有新答案。

所以我们可以枚举约数，当$k$是$n$的约数时，我们才进行计算。通过这个方法，模拟次数大大减少。然而，还是会TLE。

• 优化方案 C

在B的基础上，我们再考虑从模拟下功夫优化。

我们可以发现，我们经过的点的编号是一个等差数列。利用小学学过的公式，我们就可以快速求和。至此，我们成功通过此题。

贴代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,ys[1000000],num;
int main()
{
    cin>>n;
    for (int i=int(sqrt(n));i>0;i--)
    {
        if (!(n%i)) 
        {
            ys[++num]=i;
            ys[++num]=n/i; 
        } 
    }//预处理约数
    sort(ys+1,ys+num+1);
    for (int i=num;i>0;i--)
    {
        if (ys[i]==ys[i+1]) continue;
        bool flag=true;long long ans=0;
        ans=(1+(n+1-ys[i]))*(n/ys[i])/2;//求出答案
        cout<<ans<<" ";
    }
    return 0;
}