题解-bzoj4061 CERC-2012Farm and Factory

Posted 2021-01-31 penth

Problem

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题意概要：给定(n)点(m)边无向图，设定两个起点为(1,2)，现要求在图中增加一个点，并将这个点与其他(n)个点每个点连一条边（共(n)条），要求连完边后在新的图中从原来(n)个点到任一起点的最短路不一定经过新点，最小化连的(n)条边的权值和

Solution

超好玩的一道题

设(a_i,b_i)分别表示从(1,2)出发到达(i)节点的最短路，设新增节点为(t)，(d_i)表示从(t)到(i)所连的边

发现由于最短路不能经过(t)，所以

(d_1+d_igeq a_i\d_2+d_igeq b_i)

即(d_igeq max(a_i-d_1,b_i-d_2))

假定已经确定了(d_i)，希望(d_1)最小，发现若(d_1> a_i+d_i)和(d_1=a_i+d_i)是等价的，因为即便(d_1)再大，在考虑后面的点时(a_i+d_i)会代替(d_1)来计算后面的限制，所以有(d_1leq a_i+d_i)，同理可得

(d_1leq a_i+d_i\d_2leq b_i+d_i)

综上，可得

(d_igeq max(a_i-d_1,d_1-a_i,b_i-d_2,d_2-b_i)=max(|a_i-d_1|,|b_i-d_2|))

然后要最小化(sum d_i)，假定已经确定(d_1,d_2)，则每个(d_i)一定取不等式的等号时最优，即要求最小化的式子为(sum max(|a_i-d_1|,|b_i-d_2|))

现在只需要确定(d_1,d_2)了。将这个东西放在二维平面上，即有(n)个点((a_i,b_i))，发现上面的式子就是((d_1,d_2))关于(n)个点的切比雪夫距离

问题转化为确定一个点((d_1,d_2))使得这个点到(n)个点的切比雪夫距离和最小。这是个经典问题，可以将坐标轴旋转(45°)将切比雪夫距离转化为曼哈顿距离

最小化一个点到(n)个点的曼哈顿距离之和可以将横纵坐标拆开分别取最小，即横坐标取(n)个点横坐标的中位数，纵坐标取(n)个点纵坐标的中位数

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

inline void read(int&x){
    char c11=getchar();x=0;while(!isdigit(c11))c11=getchar();
    while(isdigit(c11))x=x*10+c11-‘0‘,c11=getchar();
}

const int N=101000,M=301000;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
struct Edge{int v,nxt,w;}a[M+M];
ll A[N],B[N];int head[N];
int n,m,_;

namespace SpFa{
    int top;
    struct node{
        int x;ll v;
        inline node(){}
        inline node(const int&X,const ll&V):x(X),v(V){}
    }h[M];
    inline void push(node nw){
        h[++top]=nw;
        int pp=top;
        while(pp>1&&h[pp].v<h[pp>>1].v)
            swap(h[pp],h[pp>>1]),pp>>=1;
    }
    inline void pop(){
        int pp=1;
        h[1]=h[top--];
        while(((pp<<1)<=top&&h[pp].v>h[pp<<1].v)||((pp<<1|1)<=top&&h[pp].v>h[pp<<1|1].v)){
            pp<<=1;
            if(h[pp].v>h[pp|1].v)pp|=1;
            swap(h[pp],h[pp>>1]);
        }
    }

    void main(int s,ll*dis){
        for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=inf;
        h[top=1]=node(s,0ll),dis[s]=0;
        node nw;
        while(top){
            nw=h[1];pop();
            for(int i=head[nw.x];i;i=a[i].nxt)
                if(dis[a[i].v]>dis[nw.x]+a[i].w){
                    dis[a[i].v]=dis[nw.x]+a[i].w;
                    push(node(a[i].v,dis[a[i].v]));
                }
        }
    }
}

void init(){
    read(n),read(m),_=0;
    for(int i=n;i;--i)head[i]=0;
    for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i){
        read(u),read(v),read(w);
        a[++_].v=v,a[_].w=w,a[_].nxt=head[u],head[u]=_;
        a[++_].v=u,a[_].w=w,a[_].nxt=head[v],head[v]=_;
    }
}

void work(){
    ll x,y,Ans=0ll;
    for(int i=n;i;--i)
        x=A[i],y=B[i],A[i]=x+y,B[i]=x-y;
    sort(A+1,A+n+1);sort(B+1,B+n+1);
    x=A[n+1>>1],y=B[n+1>>1];
    for(int i=n;i;--i)
        Ans+=abs(A[i]-x)+abs(B[i]-y);
    printf("%.9lf
",0.5*Ans/n);
}

int main(){
    int T;read(T);
    while(T--){
        init();
        SpFa::main(1,A);
        SpFa::main(2,B);
        work();
    }return 0;
}