(ex)Lucas总结

Posted 2021-01-31 heyujun

(ex)Lucas总结

普通(Lucas)

求
[ C_n^m;mod;p ]
其中(n,m,pleq 10^5)其中(p)为质数
公式不难背，那就直接背吧。。。
[ C_n^m;mod;p=C_{n;mod;p}^{m;mod;p}*C_{n/p}^{m/p} ]
如果({n;mod;p}<{m;mod;p})就直接(return;0)

int Lucas(int n, int m) { 
    if (!m) return 1; 
    else return 1ll * C(n % Mod, m % Mod) * Lucas(n / Mod, m / Mod) % Mod; 
} 

(exLucas)

设(p=prod {p_i}^{k_i})
如果我们可以求出每个(C_n^m;mod;{p_i}^{k_i})就可以直接(crt)合并了
因为
[ C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!} ]
所以问题转化为求几个阶乘以及阶乘的逆元。
所以关键在于如何快速求阶乘
为了方便统计出现了多少个(p)的次幂，我们先将阶乘中所有的(p)提出来。
可以简单的算出共有(leftlfloorfrac np ight floor)个，中间每一项都除(p)
可得(leftlfloorfrac np ight floor!)可以递归求解。
对于不可以提出来的，可以发现他们都对于(mod;p^k)有一个循环节
把循环节中的和不在其中的暴力算就行了
部分代码

ll fac(ll n, ll pi, ll pk) { 
    if (!n) return 1; 
    ll res = 1; 
    for (ll i = 2; i <= pk; i++) 
        if (i % pi) res = res * i % pk; 
    res = fpow(res, n / pk, pk); 
    for (ll i = 2; i <= n % pk; i++) 
        if (i % pi) res = res * i % pk; 
    return res * fac(n / pi, pi, pk) % pk; 
} 
ll CRT(ll b, ll p, ll Mod) { return b * inv(p / Mod, Mod) % p * (p / Mod) % p; } 
ll C(ll n, ll m, ll pi, ll pk) { 
    ll fz = fac(n, pi, pk), fm1 = fac(m, pi, pk), fm2 = fac(n - m, pi, pk); 
    ll k = 0; 
    for (ll i = n; i; i /= pi) k += i / pi; 
    for (ll i = m; i; i /= pi) k -= i / pi; 
    for (ll i = n - m; i; i /= pi) k -= i / pi; 
    return fz * inv(fm1, pk) % pk * inv(fm2, pk) % pk * fpow(pi, k, pk) % pk; 
} 
ll exlucas(ll n, ll m, ll Mod) { 
    ll res = 0, tmp = Mod; 
    for (int i = 2; 1ll * i * i <= Mod; i++)
        if (tmp % i == 0) { 
            ll pk = 1; while (tmp % i == 0) pk *= i, tmp /= i; 
            res = (res + CRT(C(n, m, i, pk), Mod, pk)) % Mod; 
        } 
    if (tmp > 1) res = (res + CRT(C(n, m, tmp, tmp), Mod, tmp)) % Mod;
    return res; 
}