Coloring Torus（Atcoder Grand Contest 030 C）

Posted 2021-01-31 scx2015noip-as-php

怎么外国都喜欢考脑筋急转弯……

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题意

输入 $k$，要求构造一个 $n imes n$ 的矩阵（$n$ 自选），使得恰好用 $k$ 中颜色把每个点都染色，并且同一种颜色的格子周围 相邻的每种颜色数量都相同。

比如矩阵中有两个格子的颜色是 $4$，其中一个格子周围有三个（颜色）$3$ 和一个 $1$，那另一个格子周围也得有三个 $3$ 和一个 $1$，但周围颜色的顺序不必相同。

矩阵的第 $1$ 行上面与第 $n$ 行相连，第 $1$ 列左面与第 $n$ 列相连。

$kle 1000$，且自选的 $n$ 必须在 $1$ 到 $500$ 范围内。

题解

首先 $kle 500$ 时很好做，令 $n=k$，第 $i$ 行全填 $i$ 就行了，所有格的行列相邻状况显然相同，不用说明了吧……

如果 $kgt 500$，就得考虑奇怪的方法了。

先思考一下，如果 $k$ 是 $4$ 的倍数，我们可以这么填：

比如 $k=8$ 的情况，构造一个 $n=k/4 imes 2=4$ 的矩阵，长这样：

$$1space 2space 3space 4$$

$$5space 6space 7space 8$$

$$1space 2space 3space 4$$

$$5space 6space 7space 8$$

这样粗暴且满足题意。

但 $k$ 不是 $4$ 的倍数呢？

我们考虑移位。

要移位的话，说明我们还要借鉴前面的方法，至少所以矩阵的大小暂定为把 $k$ 上取整为 $4$ 的倍数，即 $⌊(k+3)/4⌋ imes 2$。

但还不能简单地移位，比如 $k=6$ 时，每两行都填

$$1space 2space 3space 4$$

$$3space 4space 5space 6$$

这样错位后，同一种颜色的格子的左右两格颜色都相同，但上下两格颜色就不一定相同了。

所以我们考虑一种构造，使得同一种颜色的上下左右四格在某些意义上固定。比如取模。

这就有一个很简单的方法了：规定第 $i$ 行第 $j$ 列的位置的颜色是 $(i+j)mod k$。这样直接满足上述性质。

可以手玩一下 $k=3,4$ 的情况，发现两个矩阵分别是（其实矩阵不唯一）

$$1space 2$$

$$2space 3$$

 

$$1space 2$$

$$4space 3$$

两个矩阵的长宽 $n$ 根据之前说过的式子，可算出都是 $2$。然后发现第二个矩阵的那个 $4$ 模 $n$ 后等于第一个矩阵对应的那个 $2$ ？

我们考虑这是怎么转化过去的。

当 $k=3$ 时，矩阵显然。

把 $k$ 加 $1$，即多了一种要用的颜色，我们把偶数行的 $2$ 换成了 $4$，保留了奇数行的 $2$。

好像就是把奇偶行分类，新加一种颜色时，把偶数行的对应颜色值 $+n$？

但是这个很好证明么？……换个大点的矩阵