数值分析-线性方程组的迭代解法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数值分析-线性方程组的迭代解法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

迭代法

对于AX = b

可将方程组进行改写

得到X = BX + f

迭代法就是通过设定初值X0

然后通过Xk+1 = BXk + f不断迭代

迭代一定次数后,Xn 可近似的看做方程组的解

 

迭代法的收敛性

  设X*为方程组的准确解

  εk = || X - X* ||

  可以看到εk+1 = B * εk

  迭代法收敛的充要条件是B的谱半径<1

  B的谱半径为B最小的那个特征值

 

收敛阶

  收敛阶就是收敛速度

  平均收敛速度为-ln || Bk ||1/k

  渐进收敛速度为 R(B) = -ln (ρ(B))

  ρ(B)表示B的谱半径

  

  若要求|| εk || / || ε0 || <= σ

  那么k >= -ln(σ) / R(B)

 

 

不同的收敛法就是获取B的方式有所不同

雅克比迭代法

  将矩阵A分为

  D:对角线上的元素 

  L:对角线之下的元素的相反数

  U:对角线之上的元素的相反数

  A = D - L - U

  

  DXk+1 = (L + U)Xk + b

 

高斯-赛德尔迭代法

  (D-L)Xk+1 = UX+ b

  高斯赛德尔迭代法是雅克比迭代法的一种改进

  减少了计算量

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