数值分析-线性方程组的迭代解法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数值分析-线性方程组的迭代解法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
迭代法
对于AX = b
可将方程组进行改写
得到X = BX + f
迭代法就是通过设定初值X0
然后通过Xk+1 = BXk + f不断迭代
迭代一定次数后,Xn 可近似的看做方程组的解
迭代法的收敛性
设X*为方程组的准确解
εk = || Xk - X* ||
可以看到εk+1 = B * εk
迭代法收敛的充要条件是B的谱半径<1
B的谱半径为B最小的那个特征值
收敛阶
收敛阶就是收敛速度
平均收敛速度为-ln || Bk ||1/k
渐进收敛速度为 R(B) = -ln (ρ(B))
ρ(B)表示B的谱半径
若要求|| εk || / || ε0 || <= σ
那么k >= -ln(σ) / R(B)
不同的收敛法就是获取B的方式有所不同
雅克比迭代法
将矩阵A分为
D:对角线上的元素
L:对角线之下的元素的相反数
U:对角线之上的元素的相反数
A = D - L - U
DXk+1 = (L + U)Xk + b
高斯-赛德尔迭代法
(D-L)Xk+1 = UXk + b
高斯赛德尔迭代法是雅克比迭代法的一种改进
减少了计算量
以上是关于数值分析-线性方程组的迭代解法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
99插值法,函数逼近,曲线拟和,数值积分,数值微分,解线性方程组的直接方法,解线性方程组的迭代法,非线性方程求根,常微分方程的数值解法