皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient, Pearson's r）

Posted 2021-01-31 huzihu

Pearson‘s r，称为皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），用来反映两个随机变量之间的线性相关程度。

 

用于总体（population）时记作ρ (rho)（population correlation coefficient）：

给定两个随机变量X,Y，ρ的公式为： 

 

其中：   是协方差

             是X的标准差

             是Y的标准差

 

用于样本（sample）时记作r（sample correlation coefficient）：

给定两个随机变量x,y，r的公式为：

 

其中：  是样本数量

              是变量x，y对应的i点观测值

              是x样本平均数，是y样本平均数

 

r的取值在-1与1之间。取值为1时，表示两个随机变量之间呈完全正相关关系；取值为-1时，表示两个随机变量之间呈完全负相关关系；取值为0时，表示两个随机变量之间线性无关。

 

（注：我们用样本相关系数r作为总体相关系数ρ的估计值，要判断r值是不是由抽样误差或偶然因素导致的，需要进行假设检验。）

 

那么皮尔逊相关系数是怎么得来的呢？（参考：https://blog.csdn.net/ichuzhen/article/details/79535226）

 

要理解皮尔逊相关系数，首先要理解协方差（Covariance）

。协方差可以反映两个随机变量之间的关系，如果一个变量跟随着另一个变量一起变大或者变小，那么这两个变量的协方差就是正值，就表示这两个变量之间呈正相关关系，反之相反。协方差的公式如下：

 

 

 如果协方差的值是个很大的正数，我们可以得到两个可能的结论：

（1） 两个变量之间呈很强的正相关性

（2） 两个变量之间并没有很强的正相关性，协方差的值很大是因为X或Y的标准差很大

 

那么到底哪个结论正确呢？只要把X和Y变量的标准差，从协方差中剔除不就知道了吗？协方差能告诉我们两个随机变量之间的关系，但是却没法衡量变量之间相关性的强弱。因此，为了更好地度量两个随机变量之间的相关程度，引入了皮尔逊相关系数。可以看到，皮尔逊相关系数就是用协方差除以两个变量的标准差得到的。