@算法 - 5@ 牛顿迭代法的应用——多项式开方，对数，指数，三角与幂函数
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了@算法 - 5@ 牛顿迭代法的应用——多项式开方，对数，指数，三角与幂函数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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@0 - 参考资料@
@0.5 - 多项式平方根@
已知一个多项式 (A(x))，求一个多项式 (F(x))，使得 (F^2(x) = A(x))。
我们仿照多项式求逆的方法，加上一个模数变成 (F^2(x) = A(x) mod x^n)。
然后考虑倍增，假如我们已知：
[F_0^2(x) equiv A(x) mod x^{lceilfrac{n}{2}
ceil}]
套路移项，得到：
[F_0^2(x)-A(x) equiv 0 mod x^{lceilfrac{n}{2}
ceil}]
套路平方，得到：
[F_0^4(x)-2F_0^2(x)A(x)+A^2(x) equiv 0 mod x^{n}]
你看右边空荡荡的，心里肯定有点儿不爽对吧：
[F_0^4(x)+2F_0^2(x)A(x)+A^2(x) equiv 4F_0^2(x)A(x) mod x^{n}]
你看右边已经有个 (A(x)) 了，我们就再把 (A(x)) 单独孤立出来吧。
[dfrac{F_0^4(x)+2F_0^2(x)A(x)+A^2(x)}{4F_0^2(x)} equiv A(x) mod x^{n}]
你看左边已经是一个平方式了哦~
我们令 (F(x) = dfrac{F_0^2(x)+A(x)}{2F_0(x)})，则 (F^2(x)equiv A(x) mod x^{n})。
然后就可以一路倍增上去了。边界情况下是一个模意义下的平方剩余。
这个多项式开方和多项式求逆之间有许多共通的思想，但有些地方是很具有构造性的。
但如果题目要我们求立方根呢？如果题目要我们解高次方程呢？我们这样推导肯定是不合适的。
我们是否可以找到一个通用的方法，对于这两个，甚至更多的问题都适用呢？
@1 - 牛顿迭代法@
@数学上的定义@
本节跟我们要讲的没有任何关系。
对于某一个函数 (f(x)) 与函数上某一个点 ((x_0, f(x_0)))，我们可以用过该点的函数切线解析式去近似地代替整个函数。
根据导函数的定义，过 ((x_0, f(x_0))) 的函数切线解析式为 (g(x) = f(x_0)+f‘(x_0)*(x-x_0))。则我们可以用 (g(x)) 去近似替代 (f(x))。
假如 (g(x)) 的零点为 (g(z)=0)（(z = x_0 - frac{f(x_0)}{f‘(x_0)})），因为 (g(x)) 是 (f(x)) 的近似，所以也许 (f(z) = 0)。
但是这个概率非常的低。于是我们再选择 ((z,f(z))) 进行迭代，求出 ((z,f(z))) 对应的 (g(x))，重复十几二十百遍，应该就非常非常接近零点了。
然而……这个方法并不具有普适性，有些时候迭代会出现循环。但是对于多项式的相关操作，它的确是普适的。
根据泰勒展开：
[f(x)=f(x_0)+f‘(x_0)(x-x_0)+dfrac{f‘‘(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+dots]
我们只取前两项（因为它们是线性的），也可以得到上面的结果。
@对于多项式的定义@
总结多项式逆元与多项式开方，我们可以得到通用的一些东西。
对于一个自变量和因变量都是多项式的函数 (G(F(x)))，我们要找到多项式 (F_0(x))，使得：
[G(F_0(x))=0]
当 (G(F(x)) = A(x)*F(x) - 1) 时相当于逆元，当 (G(F(x)) = F^2(x)-A(x)) 时相当于开方。
怎么弄呢？我们套路取模，转换为 (G(F(x))equiv 0mod x^n)。
再套路倍增，假如我们已知：
[G(F_0(x))equiv 0mod x^{lceilfrac{n}{2}
ceil}]
将 (G(F(x))) 在 (F_0(x)) 处泰勒展开，得到：
[G(F(x))equiv G(F_0(x))+G‘(F_0(x))(F(x)-F_0(x))+dfrac{G‘‘(F_0(x))(F(x)-F_0(x))^2}{2!}+dotsmod x^n]
因为在模意义下 (G(F(x)) equiv 0mod x^{lceilfrac{n}{2}
ceil}) 只有唯一解，所以：
[F(x)equiv F_0(x)mod x^{lceilfrac{n}{2}
ceil}]
然后套路移项 + 套路平方：
[(F(x)-F_0(x))^2equiv 0mod x^n]
因为泰勒展开第三项及其以后的项都含 ((F(x)-F_0(x))^2)，所以我们可以直接忽略。
又因为根据定义 (G(F(x))equiv 0mod x^n)，故：
[0equiv G(F_0(x))+G‘(F_0(x))(F(x)-F_0(x))mod x^n]
变一下形：
[F(x)equiv F_0(x)-dfrac{G(F_0(x))}{G‘(F_0(x))}mod x^n]
好的我们就可以倍增了。
@2 - 牛顿迭代的应用@
@重新推导 - 多项式逆元@
对于 (G(F(x)) = A(x)*F(x) - 1) ，求 (G(F(x))equiv 0mod x^n) 的 (F(x))。
根据迭代式：
[F(x)equiv F_0(x)-dfrac{G(F_0(x))}{G‘(F_0(x))}equiv F_0(x)-dfrac{A(x)*F_0(x) - 1}{A(x)}mod x^n]
根据严密的推导，我们可以得到：(dfrac{A(x)*F_0(x) - 1}{A(x)}equiv F_0(x)(A(x)*F_0(x) - 1)mod x^n)
所以：
[F(x)equiv 2F_0(x)-A(x)*F_0^2(x)mod x^n]
时间复杂度 (O(nlog n))。
@重新推导 - 多项式平方根@
对于 (G(F(x)) = F^2(x)-A(x)) ，求 (G(F(x))equiv 0mod x^n) 的 (F(x))。
根据迭代式：
[F(x)equiv F_0(x)-dfrac{G(F_0(x))}{G‘(F_0(x))}equiv F_0(x)-dfrac{F_0^2(x) - A(x)}{2F_0(x)}mod x^n]
稍微恒等变换一下，就可以得到我们上边那个公式。
时间复杂度 (O(nlog n))。
@多项式对数函数@
这个其实和牛顿迭代没啥关系。。。
已知 (F(x) equiv ln A(x)mod x^n) ，求 (F(x))。
怎么去理解呢？其实它就是个泰勒展开：
[ln(1-P(x))=-P(x)-frac{P(x)^2}{2}-frac{P(x)^3}{3}-dots]
直接求不好做的，我们考虑两边求个导数：
[F‘(x) equiv frac{1}{A(x)}mod x^n]
这样我们就可以顺利求出 (F‘(x))，再对 (F‘(x)) 积分一下就可以了。
但是不定积分的常数项？一般来说题目会保证 (A(x)) 的常数项为 1，根据泰勒展开可得 (F(x)) 的常数项为 0。
时间复杂度 (O(nlog n))。
@多项式指数函数@
已知 (F(x) equiv e^{A(x)}mod x^n) ，求 (F(x))。
如果我们求导是没啥用的，毕竟 (e^x) 的导数还是它自己。
我们考虑两边求对数：
[ln F(x) equiv A(x)mod x^n]
然后记 (G(F(x)) = ln F(x)-A(x))，于是又可以愉快地进行牛顿迭代啦。
[F(x)equiv F_0(x)-dfrac{G(F_0(x))}{G‘(F_0(x))}equiv F_0(x)-(ln F_0- A(x))*F_0(x)mod x^n]
时间复杂度 (O(nlog n))。
@多项式幂函数@
[F^k(x)=(e^{ln F(x)})^k=e^{kln F(x)}]
时间复杂度 (O(nlog n))。
@多项式三角函数@
[e^{i*F(x)}=cos F(x) + i*sin F(x)]
把运算改成支持复数的运算。
时间复杂度 (O(nlog n))。
@3 - 一些参考代码@（留坑待填）
@4 - 算法应用@（留坑待填）
以上是关于@算法 - 5@ 牛顿迭代法的应用——多项式开方，对数，指数，三角与幂函数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章