@算法 - 4@ 多项式的多点求值与快速插值

Posted 2021-01-30 tiw-air-oao

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• @0 - 参考资料@
• @1 - 多点求值@
  • @理论推导@
  • @参考代码@
  • @例题与应用@
• @2 - 快速插值@
  • @理论推导@
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  • @例题与应用@（暂无）

@0 - 参考资料@

Cyhlnj 的博客

@1 - 多点求值@

@理论推导@

假设已知多项式 (A(x))，使用 FFT 可以将 (A(w_n^0))，(A(w_n^1))，...，(A(w_n^{n-1})) 的值在 (O(nlog n)) 的时间内快速求出。

那么问题来了，假如我现在要求解任意的 (A(x_0))，(A(x_1))，...，(A(x_{n-1})) 该怎么办呢？难道只有 (O(n^2)) 的算法吗？
当然不是。

我们依照直觉把 (x_{0dots {n-1}}) 分为两个集合：
[S_l={x_0,x_1,dots x_{frac{n}{2}}}S_r={x_{frac{n}{2}+1},x_{frac{n}{2}+2},dots x_{n-1}}\\]
然后，记多项式 (P_l(x)=prod_{x_iin S_L}(x-x_i))，并用 (A(x)) 除以 (P_l(x))，得到：
[A(x)=P_l(x)*Q(x)+R_l(x)]
这样当 (x_iin S_l) 时，(P_l(x_i)=0)，(A(x_i) = R_l(x_i))。
同理我们可以对 (S_r) 进行相应的处理。

问题转换为 (S_l) 对 (R_l(x)) 求值，(S_r) 对 (R_r(x)) 求值。
然后就可以分治了。到底层时 (R(x)) 就是一个常数，可以直接赋值。

(P_l(x)) 与 (P_r(x)) 可以利用类线段树的方法处理与储存下来。
一个细节：如果 (A(x)) 的最高次数高于 (prod_{x=0}^{N-1}(x-x_i))，则先 (A(x)) 模一下 (prod_{x=0}^{N-1}(x-x_i))。

复杂度为 (O(nlog^2n))。

@参考代码@

本代码为 luoguP5050 的 AC 代码。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int G = 3;
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 64000*10;
int pow_mod(int b, int p) {
    int ret = 1;
    while( p ) {
        if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
        b = 1LL*b*b%MOD;
        p >>= 1;
    }
    return ret;
}
struct Polynomial{
    void poly_copy(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=0;i<n;i++)
            A[i] = B[i];
    }
    void poly_clear(int *A, int l, int r) {
        for(int i=l;i<r;i++)
            A[i] = 0;
    }
    void poly_revcopy(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=0;i<n;i++)
            A[i] = B[n-i-1];
    }
    void ntt(int *A, int n, int type) {
        for(int i=0,j=0;i<n;i++) {
            if( i < j ) swap(A[i], A[j]);
            for(int l=(n>>1);(j^=l)<l;l>>=1);
        }
        for(int s=2;s<=n;s<<=1) {
            int t = (s>>1);
            int u = (type == -1) ? pow_mod(G, (MOD-1) - (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)/s);
            for(int i=0;i<n;i+=s) {
                for(int j=0,p=1;j<t;j++,p=1LL*p*u%MOD) {
                    int x = A[i+j], y = 1LL*p*A[i+j+t]%MOD;
                    A[i+j] = (x + y)%MOD, A[i+j+t] = (x + MOD - y)%MOD;
                }
            }
        }
        if( type == -1 ) {
            int inv = pow_mod(n, MOD-2);
            for(int i=0;i<n;i++)
                A[i] = 1LL*A[i]*inv%MOD;
        }
    }
    int tmp1[MAXN + 5], tmp2[MAXN + 5], tmp3[MAXN + 5];
    void poly_mul(int *A, int *B, int *C, int n, int m) {
        int len; for(len = 1;len < n+m-1;len <<= 1);
        poly_copy(tmp1, A, n); poly_clear(tmp1, n, len);
        poly_copy(tmp2, B, m); poly_clear(tmp2, m, len);
        ntt(tmp1, len, 1); ntt(tmp2, len, 1);
        for(int i=0;i<len;i++) tmp3[i] = 1LL*tmp1[i]*tmp2[i]%MOD;
        ntt(tmp3, len, -1); poly_copy(C, tmp3, n+m-1);
    }
    void poly_inv(int *A, int *B, int n) {
        if( n == 1 ) {
            B[0] = pow_mod(A[0], MOD-2);
            return ;
        }
        int len; for(len = 1;len < (n<<1);len <<= 1);
        poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1);
        poly_copy(tmp3, A, n); poly_clear(tmp3, n, len);
        ntt(tmp3, len, 1); ntt(B, len, 1);
        for(int i=0;i<len;i++) B[i] = 1LL*B[i]*(2 + MOD - 1LL*tmp3[i]*B[i]%MOD)%MOD;
        ntt(B, len, -1); poly_clear(B, n, len);
    }
    int tmp4[MAXN + 5], tmp5[MAXN + 5], tmp6[MAXN + 5];
    void poly_divide(int *A, int *B, int *C, int *R, int n, int m) {
        poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_clear(tmp5, 0, 2*(n-m+1)); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
        poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
        poly_revcopy(C, tmp6, n-m+1);
        
        poly_copy(tmp4, C, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
        for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
    }
    void poly_mod(int *A, int *B, int *R, int n, int m) {
        if( n < m ) {
            for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = A[i];
            return ;
        }
        poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
        poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
        
        poly_revcopy(tmp4, tmp6, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
        for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
        poly_clear(tmp4, 0, n); poly_clear(tmp5, 0, n);
    }
    vector<int>P[MAXN + 5];
    void poly_build(int *X, int x, int l, int r) {
        if( l == r ) {
            P[x].push_back(MOD-X[l]), P[x].push_back(1);
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_build(X, x<<1, l, mid), poly_build(X, x<<1|1, mid+1, r);
        for(int i=0;i<P[x<<1].size();i++) tmp4[i] = P[x<<1][i];
        for(int i=0;i<P[x<<1|1].size();i++) tmp5[i] = P[x<<1|1][i];
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, P[x<<1].size(), P[x<<1|1].size());
        for(int i=0;i<P[x<<1].size()+P[x<<1|1].size()-1;i++) P[x].push_back(tmp6[i]);
        poly_clear(tmp4, 0, P[x<<1].size()), poly_clear(tmp5, 0, P[x<<1|1].size());
    }
    int tmp7[MAXN + 5], tmp8[25][MAXN + 5];
    void poly_eval(int *A, int *Y, int dep, int n, int l, int r, int x) {
        for(int i=0;i<P[x].size();i++) tmp7[i] = P[x][i];
        poly_mod(A, tmp7, tmp8[dep], n, P[x].size());
        if( l == r ) {
            Y[l] = tmp8[dep][0];
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, l, mid, x<<1);
        poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, mid+1, r, x<<1|1);
        poly_clear(tmp8[dep], 0, P[x].size()-1);
    }
}oper;
int f[MAXN + 5], a[MAXN + 5], g[MAXN + 5];
int main() {
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); n++;
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d", &f[i]);
    for(int i=0;i<m;i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    oper.poly_build(a, 1, 0, m-1);
    oper.poly_eval(f, g, 0, n, 0, m-1, 1);
    for(int i=0;i<m;i++)
        printf("%d
", g[i]);
}

@例题与应用@

@快速插值@

就是下面那个东西，对，它就是多点求值的一个应用。

@2 - 快速插值@

@理论推导@

这个才是真正的毒瘤……

我们已知任意的 N+1 个点 ((x_0,y_0))，((x_1,y_1))，...，((x_N,y_N))，想要还原一个多项式 (A(x)) 使得 (A(x_i)=y_i)。

首先来看一个东西，拉格朗日插值：
[f(x) = sum_{i=0}^{N}(dfrac{prod_{j=0,j ot =i}^{N}(x-x_j)}{prod_{j=0,j ot =i}^{N}(x_i-x_j)})*y_i]

怎么证明呢？其实比较简单。首先证明其正确性：
记 (P_i(x)=(dfrac{prod_{j=0,j ot =i}^{N}(x-x_j)}{prod_{j=0,j ot =i}^{N}(x_i-x_j)})*y_i)，
当 (i = j) 时，分子等于分母， (P_i(x_j) = y_i)；
当 (i ot = j) 时，分子等于零， (P_i(x_j) = 0)。
故 (f(x_i)=sum_{j=0}^{N}P_j(x_i)=y_i)。

然后证明其唯一性，可以采用线性方程组的方法。

但是……我们如果暴力来化简上面那个式子，时间复杂度就高上天了。
所以我们接下来就来乱搞一下。

首先求解分母的部分，即 (prod_{j=0,j ot =i}^{N}(x_i-x_j)) 的值。
记 (g(x) = prod_{i=0}^N(x-x_i))，则我们相当于是求解：
[lim_{x->x_i}dfrac{g(x)}{(x-x_i)}]
当 (x = x_i) 时分母是等于 0 的，没有意义，所以我们写成极限的形式。
根据洛必达法则：
[lim_{x->x_i}dfrac{g(x)}{(x-x_i)}=g‘(x)]
即我们相当于要求解 (g‘(x_0))，(g‘(x_1))，...，(g‘(x_N))，快速插值即可。

……我相信你们应该会一些简单的微积分吧。
算了不重要，我继续往下讲。

【高能预警】下面的公式非常密集，请做好心理准备。

记 (k_i = dfrac{y_i}{prod_{j=0,j ot =i}^{N}(x_i-x_j)})，分子已知，分母可以通过我们上边的方法求解。

则原式变为：
[f(x)=sum_{i=0}^{N}k_i*(prod_{j=0,j ot =i}^{N}(x-x_j))]

记 (P_l(x)=prod_{i=0}^{frac{N}{2}}(x-x_i))，(P_r(x)=prod_{i=frac{N}{2}+1}^{N}(x-x_i))。

再记 (f_l(x)=sum_{i=0}^{frac{N}{2}}k_i*(prod_{j=0,j ot =i}^{frac{N}{2}}(x-x_j)))，(f_r(x)=sum_{i=frac{N}{2}+1}^{N}k_i*(prod_{j=frac{N}{2}+1,j ot =i}^{N}(x-x_j)))

则 (f(x)) 可以写成：
[f(x)=P_r(x)*f_l(x)+P_l(x)*f_r(x)]
预处理出 (P(x))，分治即可。最底层直接返回 (k_i)。

怎么理解呢？对于 (h_i(x) = k_i*(prod_{j=0,j ot =i}^{N}(x-x_j)))，它 “缺” ((x-x_i)) 这一项。
对于 (0le ile frac{N}{2})，它们都不 “缺” ((x-x_j),frac{N}{2}+1le jle N) 这一项。
所以利用乘法分配律，就可以得到上面那个式子。

一个细节：多点求值用的 (P(x)) 与快速插值后面分治用的 (P(x)) 是同一个玩意儿，所以可以不用重复求解。

时间复杂度：(O(nlog^2n))，常数极大。

@（不建议参考的）代码@

本代码为 luoguP5518 的 AC 代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int G = 3;
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 100000*10;
int pow_mod(int b, int p) {
    int ret = 1;
    while( p ) {
        if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
        b = 1LL*b*b%MOD;
        p >>= 1;
    }
    return ret;
}
int inv[MAXN + 5];
void init() {
    inv[1] = 1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
        inv[i] = 1LL*(MOD - MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
}
struct Polynomial{
    void poly_copy(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=0;i<n;i++)
            A[i] = B[i];
    }
    void poly_copy(int *A, vector<int> B) {
        for(int i=0;i<B.size();i++)
            A[i] = B[i];
    }
    void poly_clear(int *A, int l, int r) {
        for(int i=l;i<r;i++)
            A[i] = 0;
    }
    void poly_revcopy(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=0;i<n;i++)
            A[i] = B[n-i-1];
    }
    void ntt(int *A, int n, int type) {
        for(int i=0,j=0;i<n;i++) {
            if( i < j ) swap(A[i], A[j]);
            for(int l=(n>>1);(j^=l)<l;l>>=1);
        }
        for(int s=2;s<=n;s<<=1) {
            int t = (s>>1);
            int u = (type == -1) ? pow_mod(G, (MOD-1) - (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)/s);
            for(int i=0;i<n;i+=s) {
                for(int j=0,p=1;j<t;j++,p=1LL*p*u%MOD) {
                    int x = A[i+j], y = 1LL*p*A[i+j+t]%MOD;
                    A[i+j] = (x + y)%MOD, A[i+j+t] = (x + MOD - y)%MOD;
                }
            }
        }
        if( type == -1 ) {
            int inv = pow_mod(n, MOD-2);
            for(int i=0;i<n;i++)
                A[i] = 1LL*A[i]*inv%MOD;
        }
    }
    int tmp1[MAXN + 5], tmp2[MAXN + 5], tmp3[MAXN + 5];
    void poly_mul(int *A, int *B, int *C, int n, int m) {
        int len; for(len = 1;len < n+m-1;len <<= 1);
        poly_copy(tmp1, A, n); poly_clear(tmp1, n, len);
        poly_copy(tmp2, B, m); poly_clear(tmp2, m, len);
        ntt(tmp1, len, 1); ntt(tmp2, len, 1);
        for(int i=0;i<len;i++) tmp3[i] = 1LL*tmp1[i]*tmp2[i]%MOD;
        ntt(tmp3, len, -1); poly_copy(C, tmp3, n+m-1);
    }
    void poly_inv(int *A, int *B, int n) {
        if( n == 1 ) {
            B[0] = pow_mod(A[0], MOD-2);
            return ;
        }
        int len; for(len = 1;len < (n<<1);len <<= 1);
        poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1);
        poly_copy(tmp3, A, n); poly_clear(tmp3, n, len);
        ntt(tmp3, len, 1); ntt(B, len, 1);
        for(int i=0;i<len;i++) B[i] = 1LL*B[i]*(2 + MOD - 1LL*tmp3[i]*B[i]%MOD)%MOD;
        ntt(B, len, -1); poly_clear(B, n, len);
    }
    int tmp4[MAXN + 5], tmp5[MAXN + 5], tmp6[MAXN + 5];
    void poly_divide(int *A, int *B, int *C, int *R, int n, int m) {
        poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_clear(tmp5, 0, 2*(n-m+1)); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
        poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
        poly_revcopy(C, tmp6, n-m+1);
        
        poly_copy(tmp4, C, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
        for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
    }
    void poly_mod(int *A, int *B, int *R, int n, int m) {
        if( n < m ) {
            for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = A[i];
            return ;
        }
        poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
        poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
        
        poly_revcopy(tmp4, tmp6, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
        for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
        poly_clear(tmp4, 0, n); poly_clear(tmp5, 0, n);
    }
    vector<int>P[MAXN + 5];
    void poly_build(int *X, int x, int l, int r) {
        if( l == r ) {
            P[x].clear(); P[x].push_back(MOD-X[l]), P[x].push_back(1);
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_build(X, x<<1, l, mid), poly_build(X, x<<1|1, mid+1, r);
        poly_copy(tmp4, P[x<<1]), poly_copy(tmp5, P[x<<1|1]);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, P[x<<1].size(), P[x<<1|1].size()); P[x].clear();
        for(int i=0;i<P[x<<1].size()+P[x<<1|1].size()-1;i++) P[x].push_back(tmp6[i]);
        poly_clear(tmp4, 0, P[x<<1].size()), poly_clear(tmp5, 0, P[x<<1|1].size());
    }
    int tmp7[MAXN + 5], tmp8[25][MAXN + 5];
    void poly_eval(int *A, int *Y, int dep, int n, int l, int r, int x) {
        for(int i=0;i<P[x].size();i++) tmp7[i] = P[x][i];
        poly_mod(A, tmp7, tmp8[dep], n, P[x].size());
        if( l == r ) {
            Y[l] = tmp8[dep][0];
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, l, mid, x<<1);
        poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, mid+1, r, x<<1|1);
        poly_clear(tmp8[dep], 0, P[x].size()-1);
    }
    void poly_dif(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=1;i<n;i++)
            B[i-1] = 1LL*A[i]*i%MOD;
        B[n-1] = 0;
    }
    void poly_itgr(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
            B[i+1] = 1LL*A[i]*inv[i+1]%MOD;
    }
    int tmp9[MAXN + 5], tmp10[MAXN + 5], tmp11[25][MAXN + 5], tmp12[MAXN + 5];
    void poly_itplt(int *A, int dep, int x, int l, int r) {
        poly_clear(A, 0, P[x].size());
        if( l == r ) {
            A[0] = tmp10[l];
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_itplt(tmp11[dep], dep+1, x<<1, l, mid);
        poly_copy(tmp9, P[x<<1|1]); poly_mul(tmp9, tmp11[dep], tmp12, P[x<<1|1].size(), P[x<<1].size());
        for(int i=0;i<P[x].size();i++) A[i] = (A[i] + tmp12[i])%MOD;
        poly_itplt(tmp11[dep], dep+1, x<<1|1, mid+1, r);
        poly_copy(tmp9, P[x<<1]); poly_mul(tmp9, tmp11[dep], tmp12, P[x<<1].size(), P[x<<1|1].size());
        for(int i=0;i<P[x].size();i++) A[i] = (A[i] + tmp12[i])%MOD;
    }
    void poly_itplt(int *X, int *Y, int *A, int n) {
        poly_build(X, 1, 0, n-1); poly_copy(tmp9, P[1]);
        poly_dif(tmp9, tmp9, P[1].size());
        poly_eval(tmp9, tmp10, 0, P[1].size()-1, 0, n-1, 1);
        for(int i=0;i<n;i++) tmp10[i] = 1LL*Y[i]*pow_mod(tmp10[i], MOD-2)%MOD;
        poly_itplt(A, 0, 1, 0, n-1);
    }
}oper;
int x[MAXN + 5], y[MAXN + 5], f[MAXN + 5];
int main() {
    int n; scanf("%d", &n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
    oper.poly_itplt(x, y, f, n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d ", f[i]);
}

@例题与应用@（暂无）

这个东西……能够应用？？？