写点东西(关于背包问题)

Posted 2021-01-30 guessycb

一些有趣的背包迷题。

Section1

对于无限背包方案数，相当于单调不降序列方案数。

对于(iin [a,a+b-1])范围内，体积为(i)的物品有无限个，求装满(T)的方案数。
(f_{i,j} = f_{i-1,j-a} + f_{i,j-i})

讨论一下物品个数上界来确定(i)的枚举范围。

Section2

关于多重背包，按照(\% V)单调队列优化：
(f_{i,aV+d} = f_{i,(a-cs)V+d} + cs*W)
令(a-cs = k)有：
(f_{i,aV+d} - aW = f_{i,kV + d} - csW ; k geq a - Cnt)

Section3

有(i)个物品，第(i)个物品有(i)个，体积为(i)，求装满(T)的方案数。
分块：

• 对于体积(leq sqrt{T})，暴力枚举，使用单调队列。
• 对于体积(>sqrt{T})，用(Section1)中的解法解决。

Section4

关于无限背包其实还可以更优秀一些：
(prod frac{1}{1-x^{V_t}} = e^{-sum_{t} ln(1-x^{V_t})})
然后：
(ln(1-x^{V_t}) = -int frac{-V_tx^{V_t-1}}{1-x^V_t} = -int sum_{j=0}^{inf} V_tx^{(j+1)V_t - 1} = -sum_{j=1}^{inf} frac{x^{jV_t}}{j})。
调和级数加贡献后多项式(exp)即可。

Section4

(0/1)背包还可以更加毒瘤一点。
假设每个物品的体积特别小，现在求填满(T)的方案数。
按照体积枚举物品，对于同一体积，肯定优先选价值大的，设选(i)个的价值为(W_i)。
枚举体积(V)的剩余类(d)，有：
(f_{Vi+d} = f'_{Vj+d} + W_{i-j})，每次做完一个(V)后再(f_{i} = max(f_{i},f_{i-1}))。
(W_{i})的斜率递减。
所以对于每一个剩余类，决策单调，用分治解决，复杂度变为(O(MaxV*TlogT))。