孤立集

Posted 2021-01-30 zutter

Description

对于一个正整数集合(S)，如果存在(kin S)且满足(k-1 otin S)且(k+1 otin S)，则称(k)为(S)中的一个「孤立元」。

给定一个集合(A={1,2,cdots,n})，并等概率的选出它的一个恰好含有(m)个元素的子集(B)，你的任务是，计算(B)中所有孤立元的和的数学期望值。

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很容易想到对于(1,n)被选为孤立集的概率是一样的，([2,n-1])被选为孤立集的概率是一样的

先考虑1和n：被选的概率是(frac{n}{m}) 要使n不是孤立集需要满足(n-1)同时被选，不是孤立集概率(frac{m}{n}frac{m-1}{n-1}),那么这一部分的期望就是((1+n)(frac m n-frac{m}{n}frac{m-1}{n-1}))画一下柿子((1+n)frac m nfrac{n-m}{n-1})

然后是([2,n-1]):(forall k in [2,n-1])被选的概率同样是(frac{m}{n})而由于左右两边被选都不合法，所以是孤立集的概率就是

[frac m n -2 imes frac{m}{n}frac{m-1}{n-1}+frac{m}{n}frac{m-1}{n-1}frac{m-2}{n-2}]

画柿子后 [frac m n frac{n-2 imes m+1}{n-1}]

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
#define M 998244353
using namespace std;

LL i,m,n,j,k,t,c[2000001],inv[2000001];

int main()
{
    scanf("%lld",&t); inv[1]=1;
    for(int i=1;i<=1500000;i++) c[i]=(c[i-1]+i)%M;
    for(int i=2;i<=1500000;i++) inv[i]=(M-M/i)%M*inv[M%i]%M;
    for(;t;t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        if(m==1)
        {
            printf("%lld
",c[n]*inv[n]%M);
            continue;
        }
        if(n==m || m==0)
        {
            printf("0
");
            continue;
        }
        LL ans=(  (m*inv[n] %M*(n-m) %M*inv[n-1] %M*(n+1) %M)%M  +((m*inv[n] %M*(n-2*m+1) %M*inv[n-1] %M +m*inv[n] %M*(m-1) %M*inv[n-1] %M*(m-2) %M*inv[n-2] %M)%M*(c[n-1]-1)%M)%M)%M;
        ans%=M;
        if(ans<0) ans+=M;
        printf("%lld
",ans);
    }
}