高维前缀和

Posted 2021-01-30 gzygzy

高维前缀和

感觉这个东西很难感性理解,那就把它数字化.
首先考虑高维前缀和的值是什么（举个二维的例子
(sum[x][y] = sum_{i=1}^xsum_{j = 1}^ya[i][j])
如果按照定义式来解得话，复杂度太高

我们有一个快速计算的方法.
这个方法其实可以简单的理解为：一维一维的统计答案.
朴素的前缀和一般是容斥.但是代码量和复杂度很难保证.
下面是复杂度为(O(n^t * t))的优秀前缀和
举个栗子（请自动脑补表情包
对于三维(x , y, z)
既然是三维，那就么就有三次统计操作.
第一次统计第一维度

rep(x , 1, n)  {
    rep(y , 1, n) {
        rep(z , 1, n) {
            sum[x][y][z] += sum[x - 1][y][z];
        }
    }
}

第二次统计第二维度

rep(x , 1, n)  {
    rep(y , 1, n) {
        rep(z , 1, n) {
            sum[x][y][z] += sum[x][y - 1][z];
        }
    }
}

第三次统计第三维度

rep(x , 1, n)  {
    rep(y , 1, n) {
        rep(z , 1, n) {
            sum[x][y][z] += sum[x][y][z - 1];
        }
    }
}

然后(sum[x][y][z])数组就统计了(sum_{i = 1}^xsum_{j = 1}^ysum_{k}^{z}a[i][j][k])

题目：
部分和
当时没做出来,/捂脸
统计的是子集和.
首先把二进制每一个位置上的0/1看成维度.
然后就可以做啦
枚举每一个维度，如果这一维度是1，那就可以统计0，否则不用统计。

/*header*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#define rep(i , x, p) for(int i = x;i <= p;++ i)
#define sep(i , x, p) for(int i = x;i >= p;-- i)
#define gc getchar()
#define pc putchar
#define ll long long
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
using std::min;
using std::max;
using std::swap;

inline ll gi() {
    ll x = 0,f = 1;char c = gc;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-')f = -1;c = gc;}
    while(c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0';c = gc;}return x * f;
}

void print(ll x) {
    if(x < 0) pc('-') , x = -x;
    if(x >= 10) print(x / 10);
    pc(x % 10 + '0');
}

const int maxN = 1 << 21;

ll a[maxN];

int main() {
    int n = gi();
    rep(i , 0, n - 1) a[i] = gi();
    int p = 0;
    for(int i = 1;i < n;i <<= 1) {
        for(int j = 0;j < n;++ j) {
            if(j & (1 << p)) a[j] += a[j ^ (1 << p)];
        }
        ++ p; 
    }
    rep(i , 0, n - 1) print(a[i]) , pc('
');
    return 0;
}