小白带你学系列---贪心算法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了小白带你学系列---贪心算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

贪心算法(Greedy Algorithm) 简介

贪心算法,又名贪婪法,是寻找最优解问题的常用方法,这种方法模式一般将求解过程分成若干个步骤,但每个步骤都应用贪心原则,选取当前状态下最好/最优的选择(局部最有利的选择),并以此希望最后堆叠出的结果也是最好/最优的解。{看着这个名字,贪心,贪婪这两字的内在含义最为关键。这就好像一个贪婪的人,他事事都想要眼前看到最好的那个,看不到长远的东西,也不为最终的结果和将来着想,贪图眼前局部的利益最大化,有点走一步看一步的感觉。}

贪婪法的基本步骤:

步骤1:从某个初始解出发;
步骤2:采用迭代的过程,当可以向目标前进一步时,就根据局部最优策略,得到一部分解,缩小问题规模;
步骤3:将所有解综合起来。

事例一:找零钱问题

假设你开了间小店,不能电子支付,钱柜里的货币只有 25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币,如果你是售货员且要找给客户 41 分钱的硬币,如何安排才能找给客人的钱既正确且硬币的个数又最少

这里需要明确的几个点:
1.货币只有 25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币;
2.找给客户 41 分钱的硬币;
3.硬币最少化

思考,能使用我们今天学到的贪婪算法吗?怎么做?

(回顾一下上文贪婪法的基本步骤,1,2,3)

1.找给顾客sum_money=41分钱,可选择的是25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币。能找25分的,不找10分的原则,初次先找给顾客25分;
2.还差顾客sum_money=41-25=16。然后从25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币选取局部最优的给顾客,也就是选10分的,此时sum_money=16-10=6。重复迭代过程,还需要sum_money=6-5=1,sum_money=1-1=0。至此,顾客收到零钱,交易结束;
3.此时41分,分成了1个25,1个10,1个5,1个1,共四枚硬币。

编程实现

#include<iostream>
using namespace std;

#define ONEFEN    1
#define FIVEFEN    5
#define TENFEN    10
#define TWENTYFINEFEN 25

int main()
{
    int sum_money=41;
    int num_25=0,num_10=0,num_5=0,num_1=0;

    //不断尝试每一种硬币
    while(money>=TWENTYFINEFEN) { num_25++; sum_money -=TWENTYFINEFEN; }
    while(money>=TENFEN) { num_10++; sum_money -=TENFEN; }
    while(money>=FIVEFEN)  { num_5++;  sum_money -=FIVEFEN; }
    while(money>=ONEFEN)  { num_1++;  sum_money -=ONEFEN; }

    //输出结果
    cout<< "25分硬币数:"<<num_25<<endl;
    cout<< "10分硬币数:"<<num_10<<endl;
    cout<< "5分硬币数:"<<num_5<<endl;
    cout<< "1分硬币数:"<<num_1<<endl;

    return 0;
}

事例二:背包最大价值问题

有一个背包,最多能承载重量为 C=150的物品,现在有7个物品(物品不能分割成任意大小),编号为 1~7,重量分别是 wi=[35,30,60,50,40,10,25],价值分别是 pi=[10,40,30,50,35,40,30],现在从这 7 个物品中选择一个或多个装入背包,要求在物品总重量不超过 C 的前提下,所装入的物品总价值最高。

这里需要明确的几个点:
1.每个物品都有重量和价值两个属性;
2.每个物品分被选中和不被选中两个状态(后面还有个问题,待讨论);
3.可选物品列表已知,背包总的承重量一定。

所以,构建描述每个物品的数据体结构 OBJECT和背包问题定义为:

//typedef是类型定义的意思

//定义待选物体的结构体类型
typedef struct tagObject
{
    int weight;
    int price;
    int status;
}OBJECT;

//定义背包问题
typedef struct tagKnapsackProblem
{
    vector<OBJECT>objs;
    int totalC;
}KNAPSACK_PROBLEM;

这里采用定义结构体的形式,主要是可以减少代码的书写量,可以实现代码的复用性和可扩展性,简化,提高可读性。就是贪图简单方便,规避繁琐。

如下,实例化objects


OBJECT objects[] = { { 35,10,0 },{ 30,40,0 },{ 60,30,0 },{ 50,50,0 },
                    { 40,35,0 },{ 10,40,0 },{ 25,30,0 } };
思考:如何选,才使得装进背包的价值最大呢?

策略1:价值主导选择,每次都选价值最高的物品放进背包;
策略2:重量主导选择,每次都选择重量最轻的物品放进背包;
策略3:价值密度主导选择,每次选择都选价值/重量最高的物品放进背包。

(贪心法则:求解过程分成若干个步骤,但每个步骤都应用贪心原则,选取当前状态下最好的或最优的选择(局部最有利的选择),并以此希望最后堆叠出的结果也是最好或最优的解

策略1:价值主导选择,每次都选价值最高的物品放进背包

根据这个策略最终选择装入背包的物品编号依次是 4、2、6、5,此时包中物品总重量是 130,总价值是 165。

//遍历没有被选的objs,并且选择price最大的物品,返回被选物品的编号
int Choosefunc1(std::vector<OBJECT>& objs, int c)
{
    int index = -1;  //-1表示背包容量已满
    int max_price = 0;
    //在objs[i].status == 0的物品里,遍历挑选objs[i].price最大的物品
    for (int i = 0; i < static_cast<int>(objs.size()); i++)
    {
        if ((objs[i].status == 0) && (objs[i].price > max_price ))//objs没有被选,并且price> max_price 
        {
            max_price  = objs[i].price;
            index = i;
        }
    }

    return index;
}

策略2:重量主导选择,每次都选择重量最轻(小)的物品放进背包

根据这个策略最终选择装入背包的物品编号依次是 6、7、2、1、5,此时包中物品总重量是 140,总价值是 155。

int Choosefunc2(std::vector<OBJECT>& objs, int c)
{
    int index = -1;
    int min_weight= 10000;
    for (int i = 0; i < static_cast<int>(objs.size()); i++)
    {
        if ((objs[i].status == 0) && (objs[i].weight < min_weight))
        {
            min_weight= objs[i].weight;
            index = i;
        }
    }

    return index;
}

策略3:价值密度主导选择,每次选择都选价值/重量最高(大)的物品放进背包

物品的价值密度 si 定义为 pi/wi,这 7 件物品的价值密度分别为 si=[0.286,1.333,0.5,1.0,0.875,4.0,1.2]。根据这个策略最终选择装入背包的物品编号依次是 6、2、7、4、1,此时包中物品的总重量是 150,总价值是 170。

int Choosefunc3(std::vector<OBJECT>& objs, int c)
{
    int index = -1;
    double max_s = 0.0;
    for (int i = 0; i < static_cast<int>(objs.size()); i++)
    {
        if (objs[i].status == 0)
        {
            double si = objs[i].price;
            si = si / objs[i].weight;
            if (si > max_s)
            {
                max_s = si;
                index = i;
            }
        }
    }

    return index;
}

有了物品,有了方法,下面就是将两者结合起来的贪心算法GreedyAlgo

void GreedyAlgo(KNAPSACK_PROBLEM *problem, SELECT_POLICY spFunc)
{
    int idx;
    int sum_weight_current = 0;
    //先选
    while ((idx = spFunc(problem->objs, problem->totalC- sum_weight_current)) != -1)
    {   //再检查,是否能装进去
        if ((sum_weight_current + problem->objs[idx].weight) <= problem->totalC)
        {
            problem->objs[idx].status = 1;//如果背包没有装满,还可以再装,标记下装进去的物品状态为1
            sum_weight_current += problem->objs[idx].weight;//把这个idx的物体的重量装进去,计算当前的重量
        }
        else
        {
            //不能选这个物品了,做个标记2后重新选剩下的
            problem->objs[idx].status = 2;
        }
    }
    PrintResult(problem->objs);//输出函数的定义,查看源代码
}

注意:这里对objs[idx].status定义了三种状态,分别是待选择为0(初始所有状态均为0),装进包里变为1,判断不符合变为2,这样最后只需要拿去状态为1的即可。

主函数部分

OBJECT objects[] = { { 35,10,0 },{ 30,40,0 },{ 60,30,0 },{ 50,50,0 },
                    { 40,35,0 },{ 10,40,0 },{ 25,30,0 } };
int main()
{
    KNAPSACK_PROBLEM problem;

    problem.objs.assign(objects, objects + 7);//assign赋值,std::vector::assign
    problem.totalC = 150;

    cout << "Start to find the best way ,NOW" << endl;
    GreedyAlgo(&problem, Choosefunc3);

    system("pause");
    return 0;
}

查看策略3的输出结果:

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但是,我们再回顾一下第一个事例问题

现在问题变了,还是需要找给顾客41分钱,现在的货币只有 25 分、20分、10 分、5 分和 1 分四种硬币;该怎么办?

按照贪心算法的三个步骤:

1.41分,局部最优化原则,先找给顾客25分;
2.此时,41-25=16分,还需要找给顾客10分,然后5分,然后1分;
3.最终,找给顾客一个25分,一个10分,一个5分,一个1分,共四枚硬币。

是不是觉得哪里不太对,如果给他2个20分,加一个1分,三枚硬币就可以了呢?^_^;

总结:贪心算法的优缺点

优点:简单,高效,省去了为了找最优解可能需要穷举操作,通常作为其它算法的辅助算法来使用;

缺点:不从总体上考虑其它可能情况,每次选取局部最优解,不再进行回溯处理,所以很少情况下得到最优解。

完整代码:https://github.com/QianLingjun/GreedyAlgo 

 

下期预告:小白带你学算法,下期学习算法为---回溯算法;想get更多有趣算法知识?请加微信公众号“小白算法”,回复215,还可以免费获取著名世界计算机教材《算法设计》一书。

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