Bzoj2818 Gcd(莫比乌斯反演)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Bzoj2818 Gcd(莫比乌斯反演)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题面
题意都在题目里面了
题解
你可以把题意看成这个东西
$$ sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mmathbf f(gcd(i,j)) $$
其中$mathbf f(n)$为$是否是一个质数[n是否是一个质数]$
然后把$mathbf f$反演一下,找到一个$mathbf g$令$mathbf f=mathbf 1 ast mathbf g$,即:
$$ mathbf g(n)=sum_{dmid n}mu(frac nd)cdot mathbf f(d)=sum_{dmid n, d in prime}mu (frac nd) $$
所以$mathbf g$可以这样求:
for(int j = 1; j <= cnt; ++j)
for(int i = 1; i * prime[j] <= n; ++i)
g[i * prime[j]] += mu[i];
就是枚举系数。
接着考虑怎么做:
由于$gcd$有一个很好的性质:
$dmid gcd(i,j) Leftrightarrow dmid i, dmid j$
所以
$$ sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nsum_{dmid i,dmid j}mathbf g(d) \ =sum_{d=1}^{min(n,m)}mathbf g(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[dmid i][dmid j] \ =sum_{d=1}^{min(n,m)}mathbf g(d) lfloorfrac nd floorlfloorfrac md floor $$
然后就可以整除分块了!!
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using std::min; using std::max;
using std::swap; using std::sort;
typedef long long ll;
template<typename T>
void read(T &x) {
int flag = 1; x = 0; char ch = getchar();
while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) { if(ch == ‘-‘) flag = -flag; ch = getchar(); }
while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘) x = x * 10 + ch - ‘0‘, ch = getchar(); x *= flag;
}
const int N = 1e7 + 10;
int t, n, m, mu[N], g[N], prime[N], cnt;
long long sum[N], ans; bool notprime[N];
void getmu(int k) {
mu[1] = 1;
for(int i = 2; i <= k; ++i) {
if(!notprime[i]) prime[++cnt] = i, mu[i] = -1;
for(int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= k; ++j) {
notprime[prime[j] * i] = true;
if(!(i % prime[j])) break;
mu[prime[j] * i] = -mu[i];
}
}
for(int j = 1; j <= cnt; ++j)
for(int i = 1; i * prime[j] <= k; ++i)
g[i * prime[j]] += mu[i];
for(int i = 1; i <= k; ++i)
sum[i] = sum[i - 1] + 1ll * g[i];
}
int main () {
read(n), getmu(n);
for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
ans += (sum[r] - sum[l - 1]) * (n / l) * (n / l);
} printf("%lld
", ans);
return 0;
}
以上是关于Bzoj2818 Gcd(莫比乌斯反演)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章