常用校验码(奇偶校验,海明校验,CRC)学习总结

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了常用校验码(奇偶校验,海明校验,CRC)学习总结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

常用校验码(奇偶校验,海明校验,CRC)学习总结

一.为什么要有校验码?

因为在数据存取和传送的过程中,由于元器件或者噪音的干扰等原因会出现错误,这个时候我们就需要采取相应的措施,发现并纠正错误,对于错误的检测和校正,大多采取“冗余校验”的思想,即除原数据外,额外增加若干位编码,这些新增的代码称为校验位。

二.数据是如何校验的?

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  • 输入的数据m经过f得到p校验位。
  • 数据m和校验位一起通过存储器或传输线路,分别得到m‘和p‘,这两者可能和m,f相同,也可能由于传输储存发生问题而不同。
  • 由数据m‘再次经过f得到校验位p‘‘,比较p‘‘和p‘,从而得出是否出错,输出对应的信息,如何比较,会在下面的对应校验码中给出。

三.码距

若干位代码组成的一个字称为码字,而两个码字具有不同代码的位数为这两个码字的距离,而码制里各种码字间最小的距离称为码距。

比如8421码,1001和0000,有两位不同,所以距离是2,而0010和0011的距离为1,是最小的距离,故8421码码距为1

那么,码距有什么用呢?答案是码距和这种类型的码的检错,纠错能力有关。

如8421码,由于码距是1,无检错,纠错能力,比如数据0000,如果其中一位变化,变成0001,那么,这个数据仍然是合法的。
再如奇偶校验码中奇校验码,如100000000和010000000,码距为2,我们可以发现,如果数据中有一位变化了,如100000000变为110000000,我们可以很容易地判断出数据出错了,因为110000000不符合奇校验的编码(校验位和数据位一起所含1的个数为奇数)

我们可以发现,校验码可以帮助扩大码距,从而找出错误。

码距与检错、纠错能力的关系(当d≤4)

  • 若码距d为奇数,则能发现d-1位错,或能纠正(d-1)/2位错。
  • 若码距d为偶数,则能发现d/2位错,并能纠正(d/2-1)位错。

四.奇偶校验码

1.编码方式

  • 无论数据位多少位,校验位只有一位
  • 数据位和校验位一共所含的1个数为奇数,称为奇校验
  • 数据位和校验位一共所含的1个数为偶数,称为偶校验

例如(加粗为校验位):

数据 奇校验的编码 偶校验的编码
00000000 100000000 000000000
01010100 001010100 101010100
01111111 001111111 101111111

由于数据传输过程一般是出现一位错误,而奇偶校验码能发现奇数个错误,所以奇偶校验的实用价值还是很高的。

2.实现原理

那么,奇偶校验是怎么来发现错误的呢?根据二.数据是如何校验的我们可以知道,在数据传输之前,我们会求一次校验位,传输后,会求一次校验位,那么,在奇偶校验中,我们通过比较这两个校验位是否相同,一般是采用异或的方式,若结果为1,则说明有奇数个错误,结果为0,则说明正确或者偶数个错误。

五.海明校验码

1.引入

  • 在了解了奇偶校验码之后,我们可以稍稍做下思考,既然奇偶校验码具有一定的局限性,也就是只能检测奇数的错误,并且不能改正错误,这也就意味着数据一旦传输错误,我们必须要重新上传,那么,我们有办法确定错误发生的位置么?只要确定了错误发生的位置,改正其实就是取反。
  • 这个时候,让我们来看看奇偶校验码,它是在数据的前面或者后面加上以为校验位,那么,如果我们将数据分段,分成某些小段,这样是不是能判断错误发生的位置呢?

2.海明校验码 最简单求法

我们以8位数据位,4(5)位校验位为例

我们将海明校验码表示为(H13) H12 H11 H10 H9 H8 H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1
其中加粗的部分为校验位,校验位所在位置为2^(i-1),i=1,2,3...
我们还可以把它写成(P5) D8 D7 D6 D5 P4 D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1
其中P代表的是校验位,D代表数据位

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 S
2^0 D7 D5 D4 D2 D1 P1 S1
2^1 D7 D6 D4 D3 D1 P2 S2
2^2 D8 D4 D3 D2 P3 S3
2^3 D8 D7 D6 D5 P4 S4

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我们来看看这个表是怎么画出来的

  • 首先数据位和校验位的位置我们通过公式可以得出
  • 同列数据位所占的位置对应的行的值之和为列的值。举个例子,如D1,所在列为3,所在行分别为2^0和2^1,即1和2,满足式子1+2=3。

校验位的值为同行数据位相异或得到,至于P5,则是由所有数据位和校验位一起异或得到。

3.海明校验码判断修复错误

下面引入一个错误字S的概念
其实错误字S也就是传输前后分别求的校验位的异或值,奇偶校验码只要看一个错误字,而海明校验码则要考虑多个错误字。
S4 ~ S1为全0,说明没错. S4 ~ S1不为全0,说明有错. S5=1说明1位出错,而S5=0说明2位错,不再有效,且不能查出是哪2位出错。
S4~S1的编码值对应的则是出错的海明码位号(不太清楚图表可以返回上面的表格对照):
如1100,对应D8出错
如1011,对应D7出错
如1010,对应D6出错
如1001,对应D5出错......

  • Tip:我们通过观察8个数据位4个校验位的海明校验码,发现,若一位出错,则至少有两组校验码的生成收到影响,故我们得到其码距为3,根据码距与检错、纠错能力的关系可以得出该校验码能发现两位错,或修改一位错。

4.校验码位数的确定

前面看完后,一定有人会有疑问,为什么八位数据位我要四位或者五位校验位,三位不行么?六位不行么?那么,请继续看看下面

假定数据位数为n,校验码为k位,则故障字位数也为k位。k位故障字所能表示的状态最多是2K,每种状态可用来说明一种出错情况。

若只有一位错,则结果可能是:
数据中某一位错 (n种可能)
校验码中有一位错 (k种可能)
无错 ( 1 种可能)

假定最多有一位错,则n和k必须满足下列关系:

2^k≥1+n+k, 即:2^k-1≥n+k

所以当数据有8位时,校验码和故障字都应有至少4位。

六.循环冗余码(CRC码)

1.为什么大批量数据不用奇偶校验?

在每个字符后增加一位校验位会增加大量的额外开销;尤其在网络通信中,对传输的二进制比特流没有必要再分解成一个个字符,因而无法采用奇偶校验码。

2.模2运算

在介绍CRC码之前,有必要介绍下计算CRC码必要的模2运算:

模2运算不考虑加法进位和减法借位,上商的原则是当部分余数首位是1时商取1,反之商取0。然后按模2相减原则求得最高位后面几位的余数。这样当被除数逐步除完时,最后的余数位数比除数少一位。这样得到的余数就是校验位。
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3.基本思想

  • 数据信息M(x)为一个n位的二进制数据,将M(x)左移k位后,用一个约定的“生成多项式”G(x)相除,G(x)是一个k+1位的二进制数,相除后得到的k位余数就是校验位。校验位拼接到M(x)后,形成一个n+k位的代码,称该代码为循环冗余校验 ( CRC ) 码,也称(n+k,n)码。
  • 一个CRC码一定能被生成多项式整除,当数据和校验位一起送到接受端后,只要将接受到的数据和校验位用同样的生成多项式相除,如果正好除尽,表明没有发生错误;若除不尽,则表明某些数据位发生了错误。通常要求重传一次。
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4.CRC码求法

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5.CRC码检错

将收到的CRC码用约定的生成多项式G(x)去除,如果码字无误则余数应位0,如果有某一位出错,则余数不为0,不同位数出错余数不同.
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以上是关于常用校验码(奇偶校验,海明校验,CRC)学习总结的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

校验码

CRC校验的实现(C语言,CRC16)

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常用校验码及示例

奇偶效验码和海明码