AtCoder Regular Contest 093 E： Bichrome Spanning Tree（生成树）

Posted 2021-01-30 heyuhhh

Bichrome Spanning Tree

题意：

给出一个n个点，m条边的无向连通图，现在要给每条边染色，可以染成黑色或者白色。

现在要求在染色完毕后，找出一个至少包含一条黑边和一条白边的最小生成树，使其权值和为X。

问这样的染色方案有多少个？

 

题解：

题目要求找出一个至少包含一条黑边和白边的最小生成树，那么可能就会存在这种情况:原图的最小生成树所有边都为同色，那这不是我们要求的；我们这时就会去掉一条权值最大的边，再添一条边进来。

那么我们就可以算出包含指定边的最小生成树，方法就是先加我们指定的边，然后从小到大加边。

现在来解决这个问题，我们可以先求出原图的最小生成树，设其权值和为T，那么我们就对接下来的几种情况进行分析:

1.T>X 这种情况方案数为0；

2.T=X 这种情况下，因为边权可能会相等，所以可以继续进行删边加边的操作，直至第一种情况；

3.T<X 这种情况，我们就继续删边加边，找出使T=X相等的边的个数。

最后根据找到边的个数统计一下就好了：

对于第二种情况，设使T=X的边个数为a，其余边为b，那么答案就是(2^a-2)*2^b；

对于第三种情况，一开始使T<X的边只能同色，则方案数为2，则总答案为(2*2^a-2)*2^b，（a,b含义与上相同）。

 

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 10005,MOD = 1e9+7;
int n,m;
ll X;
struct Edge{
    int u,v,w;
    bool operator < (const Edge& A)const{
        return w<A.w;
    }
}e[N];
int f[N];
int find(int x){
    return f[x]==x ? x :f[x]=find(f[x]);
}
ll Kruskal(int edge){
    ll sum = 0;
    for(int i=0;i<=n+1;i++) f[i]=i;
    int fx,fy;
    if(edge){
        fx=find(e[edge].u),fy=find(e[edge].v);
        f[fx]=fy;sum+=e[edge].w;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(i==edge) continue ;
        fx=find(e[i].u);fy=find(e[i].v);
        if(fx!=fy){
            f[fx]=fy;
            sum+=e[i].w;
        }
    }
    return sum;
}
ll qp(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=a*ans%MOD;
        a=a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans ;
}
int main(){
    scanf("%d%d%lld",&n,&m,&X);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
    sort(e+1,e+m+1);
    ll t = Kruskal(0);
    if(t>X){cout<<0;return 0;}
    int cnt1=0,cnt2=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        ll now = Kruskal(i);
        if(now==X) cnt1++;
        else if(now>X) cnt2++;
    }
    if(t==X) cout<<(qp(2,cnt1)-2)*qp(2,cnt2)%MOD;
    else cout<<((ll)2*qp(2,cnt1)-2)%MOD*qp(2,cnt2)%MOD;
    return 0;
}