斯特林数应用

Posted 2021-01-29 utopia999

基础定义不再说明。请先学完数学基础I~IV、多项式基础I~II、生成函数、组合基础I~II再来看这篇。

排列到循环

[n!=egin{bmatrix}n\ [1,n]end{bmatrix}]
证明：一个排列对应若干个循环。

求一行第一类斯特林数

由上，可以先用分治FFT求下降幂系数，然后可以直接算出答案。

还有(O(nlog n))的做法。

求一行第二类斯特林数

先用容斥原理算出第二类斯特林数通项公式，然后化成卷积形式，用一次FFT即可。

次幂转换

[x^{underline{n}}=[0,n](egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i) imes(-1)^i]
这个式子说明下降幂的系数是有符号第一类斯特林数。
[x^n=[0,n]egin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix}x^{underline{i}}]
[x^{overline{n}}=[0,k]egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i]
[x^{n}=[0,n](egin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix}x^{overline{i}}) imes(-1)^i]
好有规律是不是。
[Large{正降卷升，一中二歧}]

斯特林反演

把上面找两个未知数系数相同的式子拼起来就行了。
[Large{一正二卷，一卷二正}]
好好记啊！

反转公式

把上面一个式子代到另一个式子里就行了。