匈牙利算法小结

Posted 2021-01-29 lykkk

最近浅学了一下匈牙利算法，略有感触，发文记录一下

匈牙利算法是用在二分图匹配中的

所以要先知道二分图的几个概念

二分图：

把一个图的顶点划分为两个不相交的集合 U 和 V ，且使得每一条边都分别连接 U 、V 中的顶点，如果存在这样的划分，则称此图为二分图。

简单说，就是可以把一个图分为两部分，同一部分里没有边相连

匹配：

二分图匹配就是边集中的任意两条边没有公共顶点

如图，图中的红边叫做匹配

最大匹配：

一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配

当然，最大匹配不一定只存在一种

完美匹配

如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配

上图就是一个完美匹配，完美匹配一定是最大匹配，完美匹配也可能存在多种，但并不是所有的图都有完美匹配

然后开始我们的匈牙利算法

接着是关于它的两个概念

交替路

从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边······形成的路径叫交替路。

增广路：

从一个未匹配的点出发，走交替路，如果路过一个未匹配的点，这条交替路叫增广路

关于匹配的概念就这些，这是在做题过程中可能会遇到的东西

顶点覆盖：

在顶点集合中，选取一部分顶点，这些顶点能够把所有的边都覆盖了。这些点就是顶点覆盖集

最小顶点覆盖：

在所有的顶点覆盖集中，顶点数最小的那个叫最小顶点集合。

独立集：

在所有的顶点中选取一些顶点，这些顶点两两之间没有连线，这些点就叫独立集

最大独立集：

在左右的独立集中，顶点数最多的那个集合

路径覆盖：

在图中找一些路径，这些路径覆盖图中所有的顶点，每个顶点都只与一条路径相关联。

最小路径覆盖：

在所有的路径覆盖中，路径个数最小的就是最小路径覆盖了。