线性回归

Posted 2021-01-29 coshaho

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性回归相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

线性回归

实验介绍

线性回归是一种较为简单，但十分重要的机器学习方法。掌握线性的原理及求解方法，是深入了解线性回归的基本要求。除此之外，线性回归也是监督学习回归部分的基石，希望您能通过本次实验掌握机器学习的一些重要的思想。

实验知识点

线性回归介绍
最小二乘法
最小二乘法代数求解方法
最小二乘法矩阵求解方法
使用 scikit-learn 进行线性回归预测

实验目录

线性回归介绍

在上一个「监督学习介绍」的实验中，我们了解了分类和回归问题的区别。也就是说，回归问题旨在实现对连续值的预测，例如股票的价格、房价的趋势等。比如，下方展现了一个房屋面积和价格的对应关系图。

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如上图所示，不同的房屋面积对应着不同的价格。现在，假设我手中有一套房屋想要出售，而出售时就需要预先对房屋进行估值。于是，我想通过上图，也就是其他房屋的售价来判断手中的房产价值是多少。应该怎么做呢？

我采用的方法是这样的。如下图所示，首先画了一条红色的直线，让其大致验证橙色点分布的延伸趋势。然后，我将已知房屋的面积大小对应到红色直线上，也就是蓝色点所在位置。最后，再找到蓝色点对应于房屋的价格作为房屋最终的预估价值。

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在上图呈现的这个过程中，通过找到一条直线去拟合数据点的分布趋势的过程，就是线性回归的过程。而线性回归中的「线性」代指线性关系，也就是图中所绘制的红色直线。

此时，你可能心中会有一个疑问。上图中的红色直线是怎么绘制出来的呢？为什么不可以像下图中另外两条绿色虚线，而偏偏要选择红色直线呢？

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上图中的绿色虚线的确也能反应数据点的分布趋势。所以，找到最适合的那一条红色直线，也是线性回归中需要解决的重要问题之一。

通过上面这个小例子，相信你对线性回归已经有一点点印象了，至少大致明白它能做什么。接下来的内容中，我们将了解线性回归背后的数学原理，以及使用 Python 代码对其实现。

线性回归原理及实现

一元线性回归

上面针对线性回归的介绍内容中，我们列举了一个房屋面积与房价变化的例子。其中，房屋面积为自变量，而房价则为因变量。另外，我们将只有 1 个自变量的线性拟合过程叫做一元线性回归。

下面，我们就生成一组房屋面积和房价变化的示例数据。x 为房屋面积，单位是平方米; y 为房价，单位是万元。

import numpy as np

x = np.array([56, 72, 69, 88, 102, 86, 76, 79, 94, 74])

y = np.array([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])

示例数据由 10 组房屋面积及价格对应组成。接下来，通过 Matplotlib 绘制数据点，x, y 分别对应着横坐标和纵坐标。

from matplotlib import pyplot as plt

%matplotlib inline

plt.scatter(x, y)

plt.xlabel("Area")

plt.ylabel("Price")

正如上面所说，线性回归即通过线性方程（1 次函数）去拟合数据点。那么，我们令函数的表达式为：

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公式（1）是典型的一元一次函数表达式，我们通过组合不同的 w0w0 和 w1w1 的值得到不同的拟合直线。我们对公式（1）进行代码实现：

def f(x, w0, w1):

y = w0 + w1 * x

return y

那么，哪一条直线最能反应出数据的变化趋势呢？

想要找出对数据集拟合效果最好的直线，这里再拿出上小节图示进行说明。如下图所示，当我们使用 y(x,w)=w0+w1xy(x,w)=w0+w1x 对数据进行拟合时，我们能得到拟合的整体误差，即图中蓝色线段的长度总和。如果某一条直线对应的误差值最小，是不是就代表这条直线最能反映数据点的分布趋势呢？

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平方损失函数

正如上面所说，如果一个数据点为 (xi, yi)，那么它对应的误差就为:

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上面的误差往往也称之为残差。但是在机器学习中，我们更喜欢称作「损失」，即真实值和预测值之间的偏离程度。那么，对应 n 个全部数据点而言，其对应的残差损失总和就为：

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在线性回归中，我们使用残差的平方和来表示所有样本点的误差。公式如下：

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对于公式（4）而言，机器学习中有一个专门的名词，那就是「平方损失函数」。而为了得到拟合参数 w0 和 w1 最优的数值，我们的目标就是让公式（4）对应的平方损失函数最小。

同样，我们可以对公式（4）进行代码实现：

def square_loss(x, y, w0, w1):

loss = sum(np.square(y - (w0 + w1*x)))

return loss

最小二乘法及代数求解

最小二乘法是用于求解线性回归拟合参数 w 的一种常用方法。最小二乘法中的「二乘」代表平方，最小二乘也就是最小平方。而这里的平方就是指代上面的平方损失函数。

简单来讲，最小二乘法也就是求解平方损失函数最小值的方法。那么，到底该怎样求解呢？这就需要使用到高等数学中的知识。推导如下：

首先，平方损失函数为：

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我们的目标是求取平方损失函数 min(f) 最小时，对应的w。首先求 f 的 1 阶偏导数：

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然后，我们令 ?f?w0=0?f?w0=0 以及 ?f?w1=0?f?w1=0，解得：

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到目前为止，已经求出了平方损失函数最小时对应的 ww 参数值，这也就是最佳拟合直线。

线性回归 Python 实现

我们将公式（7）求解得到 ww 的过程进行代码实现：

def w_calculator(x, y):

n = len(x)

w1 = (n*sum(x*y) - sum(x)*sum(y))/(n*sum(x*x) - sum(x)*sum(x))

w0 = (sum(x*x)*sum(y) - sum(x)*sum(x*y))/(n*sum(x*x)-sum(x)*sum(x))

return w0, w1

于是，可以向函数 w_calculator(x, y) 中传入 x 和 y 得到 w0w0 和 w1w1 的值。

w_calculator(x, y)

当然，我们也可以求得此时对应的平方损失的值：

w0 = w_calculator(x, y)[0]

w1 = w_calculator(x, y)[1]

square_loss(x, y, w0, w1)

接下来，我们尝试将拟合得到的直线绘制到原图中：

x_temp = np.linspace(50,120,100) # 绘制直线生成的临时点

plt.scatter(x, y)

plt.plot(x_temp, x_temp*w1 + w0, ‘r‘)

从上图可以看出，拟合的效果还是不错的。那么，如果你手中有一套 150 平米的房产想售卖，获得预估报价就只需要带入方程即可：

f(150, w0, w1)

这里得到的预估售价约为 154 万元。

线性回归 scikit-learn 实现

上面的内容中，我们学习了什么是最小二乘法，以及使用 Python 对最小二乘线性回归进行了完整实现。那么，我们如何利用机器学习开源模块 scikit-learn 实现最小二乘线性回归方法呢？

使用 scikit-learn 实现线性回归的过程会简单很多，这里要用到 LinearRegression() 类。看一下其中的参数：

sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=1)

其中：

fit_intercept: 默认为 True，计算截距项。
normalize: 默认为 False，不针对数据进行标准化处理。
copy_X: 默认为 True，即使用数据的副本进行操作，防止影响原数据。
n_jobs: 计算时的作业数量。默认为 1，若为 -1 则使用全部 CPU 参与运算。

"""scikit-learn 线性回归拟合

"""

from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 定义线性回归模型

model = LinearRegression()

model.fit(x.reshape(len(x),1) , y) # 训练, reshape 操作把数据处理成 fit 能接受的形状

# 得到模型拟合参数

model.intercept_, model.coef_

我们通过 model.intercept_ 得到拟合的截距项，即上面的 w0w0，通过 model.coef_ 得到 xx 的系数，即上面的 w1w1。对比发现，结果是完全一致的。

同样，我们可以预测 150 平米房产的价格：

model.predict([[150]])

可以看到，这里得出的结果和自行实现计算结果一致。

最小二乘法的矩阵推导及实现

学习完上面的内容，相信你已经了解了什么是最小二乘法，以及如何使用最小二乘法进行线性回归拟合。上面，实验采用了求偏导数的方法，并通过代数求解找到了最佳拟合参数 w 的值。

这里，我们尝试另外一种方法，即通过矩阵的变换来计算参数 w 。推导如下：

首先，一元线性函数的表达式为 y(x,w)=w0+w1x，表达成矩阵形式为：

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*矩阵求导是超纲内容，如果有兴趣可以 自行阅读学习。

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我们可以针对公式（11）进行代码实现：

def w_matrix(x, y):

w = (x.T * x).I * x.T * y

return w

我们针对原 x 数据添加截距项系数 1。

x = np.matrix([[1,56],[1,72],[1,69],[1,88],[1,102],[1,86],[1,76],[1,79],[1,94],[1,74]])

y = np.matrix([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])

w_matrix(x, y.reshape(10,1))

可以看到，矩阵计算结果和前面的代数计算结果一致。你可能会有疑问，那就是为什么要采用矩阵变换的方式计算？一开始学习的代数计算方法不好吗？

其实，并不是说代数计算方式不好，在小数据集下二者运算效率接近。但是，当我们面对十万或百万规模的数据时，矩阵计算的效率就会高很多，这就是为什么要学习矩阵计算的原因。

线性回归预测实战

目前，你已经学习了如何使用最小二乘法进行线性回归拟合，以及通过代数计算和矩阵变换两种方式计算拟合系数 ww，这已经达到了掌握线性回归方法的要求。在这个小节中，我们将尝试加载一个真实数据集，并使用 scikit-learn 构建预测模型，实现回归预测。

既然前面的 2 个小节中，都使用了和房价相关的示例数据。这里，我们就采用一个真实的房价数据集，也就是「波士顿房价数据集」。

数据集介绍及划分

波士顿房价数据集是机器学习中非常知名的数据集，它被用于多篇回归算法研究的学术论文中。该数据集共计 506 条，其中包含有 13 个与房价相关的特征以及 1 个目标值（房价）。

首先，我们使用 Pandas 加载并预览数据集。数据集名称为 course-5-boston.csv。

# 运行并下载数据集

!wget -nc http://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/1081/course-5-boston.csv

import pandas as pd

df = pd.read_csv("course-5-boston.csv")

查看 DataFrame 前 5 行数据。

df.head()

该数据集统计了波士顿地区各城镇的住房价格中位数，以及与之相关的特征。每列数据的列名解释如下：

CRIM: 城镇犯罪率。
ZN: 占地面积超过 2.5 万平方英尺的住宅用地比例。
INDUS: 城镇非零售业务地区的比例。
CHAS: 查尔斯河是否经过 (=1 经过，=0 不经过)。
NOX: 一氧化氮浓度（每 1000 万份）。
RM: 住宅平均房间数。
AGE: 所有者年龄。
DIS: 与就业中心的距离。
RAD: 公路可达性指数。
TAX: 物业税率。
PTRATIO: 城镇师生比例。
BLACK: 城镇的黑人指数。
LSTAT: 人口中地位较低人群的百分数。
MEDV: 城镇住房价格中位数。

本次实验中，我们不会使用到全部的数据特征。这里，仅选取 CRIM, RM, LSTAT 三个特征用于线性回归模型训练。我们将这三个特征的数据单独拿出来，并且使用 describe() 方法查看其描述信息。 describe() 统计了每列数据的个数、最大值、最小值、平均数等信息。

features = df[[‘crim‘, ‘rm‘, ‘lstat‘]]

features.describe()

同样，我们将目标值单独拿出来。训练一个机器学习预测模型时，我们通常会将数据集划分为 70% 和 30% 两部分。

其中，70% 的部分被称之为训练集，用于模型训练。例如，这里的线性回归，就是从训练集中找到最佳拟合参数 ww 的值。另外的 30% 被称为测试集。对于测试集而言，首先我们知道它对应的真实目标值，然后可以给学习完成的模型输入测试集中的特征，得到预测目标值。最后，通过对比预测的目标值与真实目标值之间的差异，评估模型的预测性能。

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