bzoj2064分裂(dp)

Posted 2021-01-29 yimmortal

题目大意：
给定一个初始集合和目标集合，有两种操作：1.合并集合中的两个元素，新元素为两个元素之和 2.分裂集合中的一个元素，得到的两个新元素之和等于原先的元素。要求用最小步数使初始集合变为目标集合，求最小步数。

其中初始集合和目标集合的元素个数都不超过10个

这是一道非常值得纪念的好题

首先一看到这个数据范围，第一反应就是状压dp了

我们首先这么考虑

如果说直接暴力的合并和分裂的话，最多需要的次数是(n+m-2)次，那么我们是不是可以在这个基础上进行优化呢。举个例子来看(1,5,7,2)-->(2,4,3,6)那么我们完全可以把(1,5)单独处理，不用将他们再跟(2,7)合并了，也不用额外的删除，那么这样其实就是相当于分组了。

那我们对于整体的集合，分成几个小集合，每个小集合内部又可以做同样的优化，这不就是dp的最优子结构吗

假设初始和目标都可以分成k组，那么答案应该就是(n-m-2 imes k)了这里应该没有问题吧。

我们令(f[i][j])表示初始集合中选择的元素集合是(i),目标集合是(j)的分成的组数的最大值

对于(f[i][j])我们先令他等于能转移到(f[i][j])的状态中的最大值，如果当前的(sa[i]==sb[j])那么就说明他可以自己单独成一组，就可以++

但这里其实有一个问题就是，当(i)和(j)的(sum)不相同的时候，其实也有可能会++但是我们不考虑，这里有一种理解方式，是的，实际上就是因为这中间存在很多状态的合成，我们把无用的合成的状态忽略，却不会忽略用来合成它的状态，所以最后答案不会遗漏最优情况，换句话说，可以理解为就是每个不相等的情况 一定可以被不相等到相等再到不相等。其实本质是一样的

直接看代码吧

感觉这个题还是不太好理解呀

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>

using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 11;

int n,m;
int sa[1 << maxn],sb[1 << maxn];
int f[1 << maxn][1 << maxn];
int a[maxn],b[maxn];

int counta(int x)
{
    int cnt=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    if (x & (1 << (i-1))) cnt+=a[i];
    return cnt;
}

int countb(int x)
{
    int cnt=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    if (x & (1 << (i-1))) cnt+=b[i];
    return cnt;
}

int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
  m=read();
  for (int i=1;i<=m;i++) b[i]=read();
  for (int i=1;i<(1 << n);i++) sa[i]=counta(i);
  for (int i=1;i<(1 << m);i++) sb[i]=countb(i);
  for (int i=1;i<(1 << n);i++)
    for (int j=1;j<(1 << m);j++)
    {
        for (int k =1;k<=n;k++)
        {
            int p = 1 << (k-1);
            if (p&i) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-p][j]);
        }
        for (int k=1;k<=m;k++)
        {
            int p = 1 << (k-1);
            if (p&j) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-p]);
        }
        if (sa[i]==sb[j]) f[i][j]++;
    }
  printf("%d",n+m-2*f[(1<<n)-1][(1<<m)-1]);
  return 0;
}