AABB和OBB包围盒简介

Posted 2021-01-29 skiwnchiwns

一、AABB立方体边界框检测

用球体去近似地代表物体运算量很小，但在游戏中的大多数物体是方的或者长条形的，应该用方盒来代表物体。另一种常见的检测模型是立方体边界框，如图10-31展示了一个AABB检测盒和它里面的物体。

坐标轴平行（Axially-aligned）不仅指盒体与世界坐标轴平行，同时也指盒体的每个面都和一条坐标轴垂直，这样一个基本信息就能减少转换盒体时操作的次数。AABB技术在当今的许多游戏中都得到了应用，开发者经常用它们作为模型的检测模型，再次指出，提高精度的同时也会降低速度。

因为AABB总是与坐标轴平行，不能在旋转物体时简单地旋转AABB，而是应该在每一帧都重新计算。如果知道每个对象的内容，这个计算就不算困难，也不会降低游戏的速度。然而，还面临着精度的问题。

假如有一个3D的细长刚性直棒，并且要在每一帧动画中都重建它的AABB。可以看到每一帧中的包装盒都不一样而且精度也会随之改变，如图10-32所示。

     

   图10-31  3D模型与AABB检测盒                     图10-32  不同方向的AABB

可以注意到AABB对物体的方向很敏感，同一物体的不同方向，AABB也可能不同（由于球体只有一个自由度，所以检测球对物体方向不敏感）。

当物体在场景中移动时，它的AABB也需要随之移动，当物体发生旋转时，有两种选择：用变换后的物体来重新计算AABB，或者对AABB做和物体同样的变换。

如果物体没有发生扭曲，可以通过“变换后的AABB”重新计算，因为该方法要比通过“变换后的物体”计算快得多，因为AABB只有8个顶点。变换AABB得出新的AABB要比变换物体的运算量小，但是也会带来一定的误差，如图10-33所示。

比较图中原AABB（灰色部分）和新AABB（右边比较大的方框），它是通过旋转后的AABB计算得到的，新AABB几乎是原来AABB的两倍，注意，如果从旋转后的物体而不是旋转后的AABB来计算新AABB，它的大小将和原来的AABB相同。

先介绍AABB的表达方法，AABB内的点满足以下条件：

xmin≤x≤xmax

ymin≤y≤ymax

zmin≤z≤zmax

因此只需要知道两个特别重要的顶点（xmin，ymin，zmin）、（xmax，ymax，zmax），记作：

float[] min = new float []{0.0f,0.0f,0.0f};

float[] max = new float []{0.0f,0.0f,0.0f};

中心点是两个顶点的中点，代表了包装盒的质点。

float[] center = new float []{0.0f,0.0f,0.0f};

中心点的计算方法如下：

float [] center(){ 

  center[0] = (min[0] + max[0])*0.5f;

  center[1] = (min[1] + max[1])*0.5f;

  center[2] = (min[2] + max[2])*0.5f;

  return center;

}

通过这两个顶点可以知道以下属性。

float xSize() { return (max[0]-min[0]); }

float ySize() { return (max[1]-min[1]); }

float zSize() { return (max[2]-min[2]); }

float size(){ return (max[0]-min[0])*(max[1]-min[1])*(max[2]-min[2]);}

当添加一个顶点到包装盒时，需要先与这两个顶点进行比较。

void add(float []p) { 

   if (p[0] < min[0]) min[0] = p[0];

   if (p[0] > max[0]) max[0] = p[0];

   if (p[1] < min[1]) min[1] = p[1];

   if (p[1] > max[1]) max[1] = p[1];

   if (p[2] < min[2]) min[2] = p[2];

   if (p[2] > max[2]) max[2] = p[2];

}

检测包装盒是否为空，可以将这两个顶点进行比较。

boolean isEmpty() {

   return (min[0] > max[0]) || (min[1] > max[1]) || (min[2] > max[2]);

}

检测某个点是否属于AABB范围之内的代码如下：

boolean contains(float []p){ 

   return

    (p[0] >= min[0]) && (p[0] <= max[0]) &&

    (p[1] >= min[1]) && (p[1] <= max[1]) &&

    (p[2] >= min[2]) && (p[2] <= max[2]);

}

AABB的静态检测比较简单，检测两个静止包装盒是否相交，它是一种布尔测试，测试结果只有相交或者不相交。这里我们还提供了获取相交范围信息的方法，一般来说，这种测试的目的是为了返回一个布尔值。碰撞的示意如图10-34所示。

图10-34  包装盒的碰撞

检测静态AABB碰撞的方法如下：

boolean intersectAABBs(AABB box2,AABB boxIntersect)

{

   float []box2_min = box2.getMin();

   float []box2_max = box2.getMax();

   if (min[0] > box2_max[0]) return false;

   if (max[0] < box2_min[0]) return false;

   if (min[1] > box2_max[1]) return false;

   if (max[1] < box2_min[1]) return false;

   if (min[2] > box2_max[2]) return false;

   if (max[2] < box2_min[2]) return false;

   if (boxIntersect != null) {

       float []box_intersect_min = new float[3];

       float []box_intersect_max = new float[3];

       box_intersect_min[0] = Math.max(min[0], box2_min[0]);

       box_intersect_max[0] = Math.min(max[0], box2_max[0]);

       box_intersect_min[1] = Math.max(min[1], box2_min[1]);

       box_intersect_max[1] = Math.min(max[1], box2_max[1]);

       box_intersect_min[2] = Math.max(min[2], box2_min[2]);

       box_intersect_max[2] = Math.min(max[2], box2_max[2]);

   }

   return true;

}

可以利用AABB的结构来加快新的AABB的计算速度，而不用变换8个顶点，再从这8个顶点中计算新AABB。下面简单地回顾4×4矩阵变换一个3D点的过程。

通过原边界框（xmin，ymin，zmin，xmax，ymax，zmax）计算新边界框（，，，，，），现在的任务是计算的速度。换句话说，希望找到m11x+m12y+m13z+m14的最小值。其中[x，y，z]是原8个顶点中的任意一个。

变换的目的是找出这些点经过变换后哪一个的x坐标最小。看第一个乘积m11x，为了最小化乘积，必须决定是用xmin还是xmax来替换其中的x。显然，如果m11＞0，用xmin能得到最小化的乘积；如果m11＜0，则用xmax能得到最小化乘积。

比较方便的是，不管xmin还是xmax中哪一个被用来计算，都可以用另外一个来计算。可以对矩阵中的9个元素中的每一个都应用这个计算过程（其他元素不影响大小）。

根据变换矩阵和原有的AABB包装盒计算新的AABB包装盒的代码如下：

void setToTransformedBox(Transform t)

{

   if (isEmpty()) {                              //判断包装盒是否为空

      return;

   }

   float[] m = new float [16];

   t.get(m);                                     //将变换矩阵存入数组

   float minx=0,miny=0,minz=0;

   float maxx=0,maxy=0,maxz=0;

   minx += m[3];                                 //x方向上平移

   maxx += m[3];                                 //x方向上平移

   miny += m[7];                                 //y方向上平移

   maxy += m[7];                                 //y方向上平移

   minz += m[11];                                //z方向上平移

   maxz += m[11];                                //z方向上平移

   if (m[0] > 0.0f) {

      minx += m[0] * min[0]; maxx += m[0] * max[0];

   } else {

      minx += m[0] * max[0]; maxx += m[0] * min[0];

   }

   if (m[1] > 0.0f) {

      minx += m[1] * min[1]; maxx += m[1] * max[1];

   } else {

      minx += m[1] * max[1]; maxx += m[1] * min[1];

   }

   if (m[2] > 0.0f) {

      minx += m[2] * min[2]; maxx += m[2] * max[2];

   } else {

      minx += m[2] * max[2]; maxx += m[2] * min[2];

   }

   if (m[4] > 0.0f) {

      miny += m[4] * min[0]; maxy += m[4] * max[0];

  } else {

      miny += m[4] * max[0]; maxy += m[4] * min[0];

   }

   if (m[5] > 0.0f) {

      miny += m[5] * min[1]; maxy += m[5] * max[1];

   } else {

      miny += m[5] * max[1]; maxy += m[5] * min[1];

   }

   if (m[6] > 0.0f) {

      miny += m[6] * min[2]; maxy += m[6] * max[2];

   } else {

      miny += m[6] * max[2]; maxy += m[6] * min[2];

   }

   if (m[8] > 0.0f) {

      minz += m[8] * min[0]; maxz += m[8] * max[0];

   } else {

      minz += m[8] * max[0]; maxz += m[8] * min[0];

   }

   if (m[9] > 0.0f) {

      minz += m[9] * min[1]; maxz += m[9] * max[1];

   } else {

      minz += m[9] * max[1]; maxz += m[9] * min[1];

   }

   if (m[10] > 0.0f) {

      minz += m[10] * min[2]; maxz += m[10] * max[2];

   } else {

      minz += m[10] * max[2]; maxz += m[10] * min[2];

   }

   min[0] = minx; min[1] = miny; min[2] = minz;    //用新的AABB坐标替换原有坐标

   max[0] = maxx; max[1] = maxy; max[2] = maxz;    //用新的AABB坐标替换原有坐标

}

为了使用AABB包装盒进行碰撞检测，将这些方法和属性封装为AABB类，代码如下：

import java.lang.Math;

import javax.microedition.m3g.Transform;

class AABB{ 

   public AABB(){}

   float [] getMin(){return min;}

   float [] getMax(){return max;}

   void setMin(float x,float y,float z){min[0]=x;min[1]=y;min[2]=z;}

   void setMax(float x,float y,float z){max[0]=x;max[1]=y;max[2]=z;}

   void reset(){

      for(int i =0;i<3;i++)

      {

         min[i]=0;

         max[i]=0;

      }

   }

   //其他方法同上

}

为了检验碰撞检测的使用构造了两个立方体，并各自绑定了一个包装盒。

/**************立方体1***************/

mesh1 = createCube();                            //创建立方体1

mesh1.setTranslation(1.0f, 0.0f,0.0f) ;          //平移

mesh1.setOrientation(90,0.0f,1.0f,0.0f);         //旋转

mesh1.setScale(0.5f,0.5f,0.5f);                  //缩放

box1 = new AABB();                               //包装盒

box1.setMin(-1.0f,-1.0f,-1.0f);                  //设置包装盒1的最小顶点

box1.setMax(1.0f,1.0f,1.0f);                     //设置包装盒1的最大顶点

mesh1.getCompositeTransform(cubeTransform);      //获取立方体1的混合矩阵

box1.setToTransformedBox(cubeTransform);         //将变换矩阵应用到包装盒中

world.addChild(mesh1);                           //将立方体1添加到场景中

/**************立方体2***************/

mesh2 = createCube();                            //创建立方体2

mesh2.setTranslation(-0.5f, 0.0f,0.0f) ;         //平移

mesh2.setScale(0.5f,0.5f,0.5f);                  //缩放

box2 = new AABB();                               //包装盒

box2.setMin(-1.0f,-1.0f,-1.0f);                  //设置包装盒2的最小顶点

box2.setMax(1.0f,1.0f,1.0f);                     //设置包装盒2的最大顶点

mesh2.getCompositeTransform(cubeTransform);      //获取立方体2的混合矩阵

box2.setToTransformedBox(cubeTransform);         //将变换矩阵应用到包装盒2中

world.addChild(mesh2);                           //将立方体2添加到场景中

检测包装盒1和包装盒2是否碰撞的代码如下：

isCollided = box1.intersectAABBs(box2,null);     //检测两个AABB包装盒是否碰撞

编译运行程序，设置两个立方体不同的位置和角度，可以比较精确地检测出它们的碰撞情况，如图10-35所示。

检测两个静止AABB的碰撞情况比较简单，只需要在每一维上单独检查它们的重合程度即可。如果在所有维上都没有重合，那么这两个AABB就不会相交。

AABB间的动态检测稍微复杂一些，考虑一个由顶点smin和smax指定的静态包装盒和一个由顶点mmin和mmax指定的动态包装盒（如果两个都是动态的，可以根据相对运动视作如此）。运动的速度由向量s给出，运动时间t假定为0～1。

图10-35  静态物体碰撞检测示意

移动检测的目标是计算运动AABB碰撞到静态AABB的时刻，因此需要计算出两个AABB在所有维上的第一个点。为了简化起见，可以把上述问题先归结到某一维，然后再将三维结合到一起。假设把问题投影到x轴，如图10-36所示。

图10-36  AABB的动态检测

黑色矩形代表沿坐标轴滑动的AABB，t=0时，运动AABB完全位于静止AABB的左边。当t=1时，运动AABB完全位于静止AABB的右边。当t=tenter时，两个AABB刚刚相交，当t=tleave时，两个AABB脱离碰撞。

对照上图，可以推导出两个AABB接触和离开的时间：

，

AABB的动态检测有3个要点。

n     如果速度为0，两个包装盒要么一直相交，要么一直分离。

n     不管物体从哪个方向运动，碰撞过程中，肯定是先入后出，所以有tenter＜tleave。

n     如果tenter和tleave超出运动时间范围，那么在此范围内它们是不相交的。

检测出某一维的碰撞还不够，还需要进行其他两维的检测，然后取结果的交集。如果交集为空，那么两AABB包装盒没有相交，如果区间范围在时间段[0，1]之外，那么在此区间也不相交。对AABB进行动态检测的方法定义如下：

float intersectMovingAABB(AABB stationaryBox,AABB movingBox,float []s)

{ 

    float NoIntersection = 1e30f;                      //没有碰撞则返回大数

    float tEnter = 0.0f;                               //初始化碰撞时间

    float tLeave = 1.0f;                               //初始化离开时间

    float Swap = 0.0f;                                 //交换操作中间变量

    float [] sBoxmin= stationaryBox.getMin();          //静止包装盒的最小值顶点

    float [] sBoxmax= stationaryBox.getMax();          //静止包装盒的最大值顶点

    float [] mBoxmin= movingBox.getMin();              //运动包装盒的最小值顶点

    float [] mBoxmax= movingBox.getMax();              //运动包装盒的最大值顶点

    if (s[0] == 0.0f) {                                //如果x方向速度为0

       if ((sBoxmin[0] >= mBoxmax[0]) ||(sBoxmax[0] <= mBoxmin[0])) {

           return NoIntersection;                       //进行静态检测

       }

    } else {

       float xEnter = (sBoxmin[0]-mBoxmax[0])/s[0];    //计算碰撞时间

       float xLeave = (sBoxmax[0]-mBoxmin[0])/ s[0];   //计算离开时间

       if (xEnter > xLeave) {                          //检查顺序

           Swap = xEnter;

           xEnter = xLeave;

           xLeave = Swap;

       }

       if (xEnter > tEnter) tEnter = xEnter;           //更新区间

       if (xLeave < tLeave) tLeave = xLeave;

       if (tEnter > tLeave) {                          //是否导致空重叠区

           return NoIntersection;                       //没有碰撞

       }

    }

    if (s[1] == 0.0f) {                                //y轴速度为0

       if ( (sBoxmin[1] >= mBoxmax[1]) || (sBoxmax[1] <= mBoxmin[1])) {

           return NoIntersection;                       //没有相交

       }

    } else {

       float yEnter = (sBoxmin[1]-mBoxmax[1]) / s[1];

       float yLeave = (sBoxmax[1]-mBoxmin[1]) / s[1];

       if (yEnter > yLeave) {

           Swap = yEnter;

           yEnter = yLeave;

           yLeave = Swap;

       }

       if (yEnter > tEnter) tEnter = yEnter;           //更新区间

       if (yLeave < tLeave) tLeave = yLeave;

       if (tEnter > tLeave) {

           return NoIntersection;

       }

    }

    if (s[2] == 0.0f) {                                //z方向速度为0

       if ((sBoxmin[2] >= mBoxmax[2]) ||(sBoxmax[2] <= mBoxmin[2])) {

           return NoIntersection;

       }

    } else {

       float oneOverD = 1.0f / s[2];

       float zEnter = (sBoxmin[2]-mBoxmax[2]) / s[2];

       float zLeave = (sBoxmax[2]- mBoxmin[2]) / s[2];

       if (zEnter > zLeave) {

           Swap = zEnter;

           zEnter = zLeave;

           zLeave = Swap;

       }

       if (zEnter > tEnter) tEnter = zEnter;           //更新区间

       if (zLeave < tLeave) tLeave = zLeave;

       if (tEnter > tLeave) {

           return NoIntersection;

       }

    }

    return tEnter;                                     //返回碰撞时间

}

为了对移动AABB进行检测，创建两个AABB如图10-37所示。两个包装盒距离0.5，速度为3。

图10-37  移动AABB检测

检测代码如下：

float[] speed = new float []{3.0f,0.0f,0.0f};

float tEnter = intersectMovingAABB(box1,box2,speed);

输出结果为0.16667，完全符合预期的猜测。

 

二、OBB包围盒

前面提到了长条物体在旋转时AABB盒的变化，那么是否有能够在任意方向都更为精确的检测方式，答案是肯定的，这是一种基于OBB即定向包容盒子（Oriented Bounding Box,OBB）的技术，它已经广泛用于光线追踪和碰撞检测中。

OBB这种方法是根据物体本身的几何形状来决定盒子的大小和方向，盒子无须和坐标轴垂直。这样就可以选择最合适的最紧凑的包容盒子。OBB盒子的生成比较复杂。一般是考虑物体所有的顶点在空间的分布，通过一定的算法找到最好的方向(OBB盒子的几个轴)。

一个2D示意图如图10-38所示。

这种技术比AABB技术更精确而且更健壮，但OBB实现起来比较困难，执行速度慢，并且不太适合动态的或柔性的物体。特别注意的是，当把一个物体分得越来越小的时候，事实上是在创建一棵有层次的树，如图10-39所示。

图10-39  OBB树的生成（曲折线为物体）

为任意的网格模型创建OBB树可能是算法里最难的一个部分，而且它还要调整以适合特定的引擎或游戏类型。从图中可以看出，不得不找出包围给定模型的最近似的包装盒（或者其他3D体）。

现在得到了所有的包装盒，下一步将构造一棵树。

从最初的AABB包装盒开始从上至下地反复分割它。另外，还可以用从下至上的方式，逐步地合并小包装盒从而得到最大的包装盒。把大的包装盒分割成小的包装盒，应该遵守以下几条原则。

（1）用一个面（这个面垂直于包装盒中的一条坐标轴）来分割包装盒上最长的轴，然后根据多边形处在分割轴的哪一边把多边形分离开来（如图10-38所示）。

（2）如果不能沿着最长的轴进行分割，那就沿第二长的边分割。持续地分割直到包装盒不能再分割为止。

（3）依据需要的精度（比如，是否真的要判断单个三角形的碰撞），可以按选择的方式（是按树的深度或是按包装盒中多边形的数目）以任意的条件停止分割。

正如读者所看到的，创建阶段相当复杂，其中包括了大量的运算，很明显不能实时地创建树，只能是事先创建。事先创建可以免去实时改变多边形的可能。另一个缺点是OBB要求进行大量的矩阵运算，不得不把它们定位在适当的地方，并且每棵子树必须与矩阵相乘。

现在假设已经有了OBB或者AABB树。那么该怎么进行碰撞检测呢？首先检测最大的包装盒是否相交（AABB级别），如果相交了，它们可能（注意，只是可能）发生了碰撞，接下来将进一步地递归处理它们（OBB级别，不断地递归用下一级进行处理）。

如果沿着下一级，发现子树并没有发生相交，这时就可以停止，并得出结论没有发生碰撞。如果发现子树相交，那么要进一步处理它的子树直到到达叶子节点，并最终得出结论。

碰撞检测最直观的想法是把一个OBB盒子的每个边都和另一个盒子的所有面来比较，如果这个边穿过了另一个OBB盒子的一个面，则两个OBB盒子发生了碰撞。显然这种方法的计算量是比较大的，因为要进行12×6×2=144次边和面的比较。

但是，在考察两个没有碰撞的OBB盒子时，人们发现一些规律来简化比较。

（1）如果两个OBB盒子不互相接触，则应该可以找到一个盒子上的一个面，这个面所在的平面可以把3D空间分为两部分，两个OBB盒子各在两边。

（2）如果没有这样的表面存在，则一定可以在两个OBB盒子上各找出一条边，这两条边所在的平面可以把两个OBB盒子分在两边。有了这个平面，就可以找到垂直于它的分割轴（separating axis），如图10-40所示。

（3）进行相交测试时，可以把包装盒投影到分割轴上，并检查它们是否线性相交。两个OBB盒子在这个分割轴上的投影将是分离的。

如上所述，要判断两个OBB盒子是否碰撞，只需要看两个OBB盒子之间是否有这样的平面和分割轴存在。如果存在，则没有碰撞。如果不存在，则碰撞。对第一种情况，每个盒子有6个表面(其中每两个平行)，可以决定3个分割轴。两个OBB盒子一共有6个可能的分割轴需要考虑。对第二种情况，两个OBB盒子之间的边的组合可以有3×3=9种情况，也就是有9个可能的分割轴。这样对任意两个OBB盒子，只需要考察15个分割轴就可以了。如果在任一分割轴上的阴影不重合，则OBB盒子之间没有碰撞。

选择AABB还是选择OBB应该根据所需的精确程度而定。对一个需要快速反应的3D射击游戏来说，可能用AABB来进行碰撞检测更好些——可以牺牲一些精度来换取速度和实现的简单化，因此总能在游戏中看到一些小疏漏。当然随着硬件能力的提高，OBB处理会逐渐被重视起来。

在做碰撞检测时应当遵循以下的优化理论，这样可以改善检测速度。

n     分两步检验，距离远时看作质点，距离近时采用包装盒。

n     距离很远的物体不会在短时间内相撞（可以采用BSP树分割空间）。

n     一个物体不能隔着第二个物体和第三个物体相撞。

n     一旦一个物体检测到和另一物体碰撞，另一物体对这个物体不再检测。

n     静止的物体不主动与其他物体碰撞。

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