luogu3888 GDOI2014拯救莫里斯 （状压dp）

Posted 2021-01-29 yimmortal

题目描述

莫莉斯·乔是圣域里一个叱咤风云的人物，他凭借着自身超强的经济头脑，牢牢控制了圣域的石油市场。

圣域的地图可以看成是一个n*m的矩阵。每个整数坐标点(x , y)表示一座城市(（ 1le xle n,1le yle m）)。两座城市间相邻的定义为：对于城市(Ax, Ay)和城市(Bx, By)，满足 (Ax - Bx)^2 + (Ay - By)^2 = 1(Ax?Bx)2+(Ay?By)2=1 。

由于圣域的石油贸易总量很大，莫莉斯意识到不能让每笔石油订购单都从同一个油库里发货。为了提高效率，莫莉斯·乔决定在其中一些城市里建造油库，最终使得每一个城市X都满足下列条件之一：

1.该城市X内建有油库，

2.某城市Y内建有油库，且城市X与城市Y相邻。

与地球类似，圣域里不同城市间的地价可能也会有所不同，所以莫莉斯想让完成目标的总花费尽可能少。如果存在多组方案，为了方便管理，莫莉斯会选择建造较少的油库个数。

输入输出格式

输入格式：
第一行两个正整数n,m (( n imes m le 50 且 mle n))，表示矩阵的大小。

接下来一个n行m列的矩阵F， (F_{i, j}) 表示在城市(i,j)建造油库的代价。

输出格式：
输出两个数，建造方案的油库个数和方案的总代价。

其中数据范围是

对于30%数据满足 (n imes m le 25) ;

对于100%数据满足(n imes m le 50,0 le F_{i, j} le100000)

看一下这个数据范围，不难得出，m<=7

所以可以直接进行dp

首先我们先预处理一下cost[i][j]表示在第i行，建造j这个状态的油库需要的最小代价是多少

num[j]是j这个状态有几个油库（也就是有几个一） 可以直接用_builtin_popcount()来算

QAQ然后考虑dp

因为第i行的状态只能转移到i+1的状态转移过来

所以f[i][j][k]表示前i-1行的已经都能够合法，第i行的状态是j，第i-1行的状态时k的最小花费

同时g[i][j][k]则表示对应状态的油库数量

首先我们考虑转移条件~~

因为是要求前i行的状态合法，才能转移到i+1

所以要求 ((p| j | k|{j << 1} |{j >> 1}) &{2^m-1} == {2^m -1})


这个条件也就是对应的是第i行是所有的位置都是合法的

然后考虑对于(f[i][j][k])能转移到哪个状态

我们在转移的时候，枚举j,k,p
则
(f[i+1][p][j]=f[i][j][k]+cost[i+1][p])


(g[i+1][p][j]=g[i][j][k]+num[p])

同时当上述的f在转移时相等的时的时候，我们也可以考虑更新g
不懂的可以看一下代码

        if (((j|k|p|(j<<1)|(j>>1))&((1 << m)-1))==((1 << m)-1))
            {
                if (f[i][j][k]+sum[i+1][p]<f[i+1][p][j])
                {
                    f[i+1][p][j]=f[i][j][k]+sum[i+1][p];
                    g[i+1][p][j]=g[i][j][k]+num[p];
                }
                else
                {
                    if (f[i][j][k]+sum[i+1][p]==f[i+1][p][j])
                    {
                      g[i+1][p][j]=min(g[i+1][p][j],g[i][j][k]+num[p]);
                    }

QWQ最后的答案就是
f[n+1][0][i] 以及对应最小费用的最小油库个数

上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>

using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 210;

int a[61][61];
int f[61][maxn][maxn];
int g[61][maxn][maxn];
int sum[61][maxn];
int n,m;
int num[maxn];
int ans1=1e9;
int ans2=1e9;

int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=m;j++)
      a[i][j]=read();
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
     for (int j=0;j<(1 << m);j++)
     {
         for (int k=1;k<=m;k++)
         {
            if (j&(1 << (k-1))) {
                  sum[i][j]+=a[i][k]; 
                }
            }
       }
  }
  memset(f,127/3,sizeof(f));
  memset(g,127/3,sizeof(g));
  for (int j=0;j<(1 << m);j++) num[j]=__builtin_popcount(j);
  for (int i=0;i<(1 << m);i++)
  {
    f[1][i][0]=sum[1][i];
    g[1][i][0]=num[i];
  }
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
     for (int j=0;j<(1 << m);j++)
       for (int k=0;k<(1 << m);k++)
       {
          for (int p=0;p<(1 << m);p++)
          {
            if (((j|k|p|(j<<1)|(j>>1))&((1 << m)-1))==((1 << m)-1))
            {
                if (f[i][j][k]+sum[i+1][p]<f[i+1][p][j])
                {
                    f[i+1][p][j]=f[i][j][k]+sum[i+1][p];
                    g[i+1][p][j]=g[i][j][k]+num[p];
                }
                else
                {
                    if (f[i][j][k]+sum[i+1][p]==f[i+1][p][j])
                    {
                      g[i+1][p][j]=min(g[i+1][p][j],g[i][j][k]+num[p]);
                    }
                }
            }
          }
        }
  }
  for (int i=0;i<(1 << m);i++)
  {
     if (ans1>f[n+1][0][i])
       {
          ans1=f[n+1][0][i];
          ans2=g[n+1][0][i];
        }
     else
     {
        if (ans1==f[n+1][0][i])
          ans2=min(ans2,g[n+1][0][i]);
     }
  }
  cout<<ans2<<" "<<ans1;
 
  return 0;
}

这大概是QWQ第一篇makedown的博客 嗯