SHOI2008 汉诺塔

Posted 2021-01-28 charlesss

 

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 我真爱汉诺塔

 

虽说是道紫题，但仔细想想仍适用于基础版本的汉诺塔的递推思路：对于每个情况中的底盘，必须将其上方所有的盘都先挪走。

 

转移到这道题上，即将每个底盘上的所有盘全部按当前最高优先级操作挪走。

 

进一步简化，把每个底盘上的所有盘当作一个盘，按照最高优先级操作移动即可。

 

理论有了，接下来又是我们喜闻乐见的数学推导

 

这就是就是就是就是就是道数学题，跟国王游戏一样坑

 

 

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用 long long定义递推数组sum【110】

 

只有一个盘的时候可以一步到位，sum【1】=1

 

有两个盘子时，就需要开始考虑优先级的问题：

 

因为所有盘从A柱出发，因此要先讨论从A挪到B和C的优先级

 

若是B优先于C，则挪动两次后底盘和上面盘将分别处于C、B柱

 

若从B出发，C优先于A，则可一步到位，sum【2】=3

 

另一种情况下，即A优于C，上面盘会被挪回到A，底盘只能被挪到B，上面盘再挪到B，总共需要sum【2】=5

 

回到第五行，若C优先于B，则情况刚好相反，此为两盘的挪动步骤

 

那么三盘呢？必须求出数组的前三个数才能递推啊

 

我相信聪明机智的各位都能类比上述推法自己推出三盘的步骤，这里就不写了（学校作业要写不完了），因为推导过程是完全一样的。

 

 

 

 

 

那么到这里，数据基础问题已经解决了再求个递推式就完美了：（方法极其水但可行）

 

Let‘s 回想一下当初刷openjudge上递推汉诺塔的式子,因为上面盘要挪动两次,底盘挪动一次,我们可得出递推式为 sum[i+1]=sum[i]*2+1

 

类比一下,在本题中,上面盘看作一个盘,要挪动的次数假设为x,底盘要挪动的次数假设为y,则递推式为sum[i+1]=sum[i]*x+y

 

简单手推两组sum[i+1]和sum[i](i>3)的数据(千万别推错了),代入,用sum[2]和sum[3]表示求出的x和y的值即可（多试几次总会写出对的。。）

 

要注意的地方就是求两盘和三盘时，必须保证推出的步骤数正确

其次最后导出的递推式会很很很长，最好用定义变量拆开表示，不然可能会崩

（就这两地方导致我暴了4次零）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 long long miaocannotsay[40];
 5 char x[4];
 6 int miaoa[3][3];
 7 int main()
 8 {
 9     int n;
10     cin>>n;
11     for(int i=0;i<6;i++)//读入 
12     {
13         scanf("%s",x);;
14         miaoa[x[0]-‘A‘][x[1]-‘A‘]=6-i;
15     }
16     
17     miaocannotsay[1]=1;
18     if(miaoa[0][1]>miaoa[0][2])//AB AC
19     {
20         if(miaoa[1][2]<miaoa[1][0])//BC<BA
21         {
22             miaocannotsay[2]=5;
23             miaocannotsay[3]=17;
24         }
25         else
26         {
27             if(miaoa[2][0]>miaoa[2][1])//CA>CB
28             {
29                 miaocannotsay[2]=3;
30                 miaocannotsay[3]=7;
31             }
32             else
33             {
34                 miaocannotsay[2]=3;
35                 miaocannotsay[3]=9;
36             }
37         }
38     }
39     else 
40     {
41     if(miaoa[2][1]<miaoa[2][0])//CB<CA
42     {
43      miaocannotsay[2]=5;
44      miaocannotsay[3]=17;
45     }
46     else
47     {
48 
49     if(miaoa[1][0]>miaoa[1][2])//BA>BC
50     {
51      miaocannotsay[2]=3;    
52      miaocannotsay[3]=7;
53     }
54     else
55     {
56      miaocannotsay[2]=3;
57      miaocannotsay[3]=9;
58     }
59 }
60 }
61     int m=(miaocannotsay[2]*miaocannotsay[2]-miaocannotsay[1]*miaocannotsay[3])/(miaocannotsay[2]-miaocannotsay[1]);
62     int k=miaocannotsay[2]-m;
63     for(int i=4;i<=n;i++)
64     miaocannotsay[i]=miaocannotsay[i-1]*k+m;
65     cout<<miaocannotsay[n];
66     return 0;
67 }

祝各位冬幕节快乐