组合数问题

Posted 2021-01-28 akoasm

组合数问题

• 题目描述

  见https://www.luogu.org/problemnew/show/P3746#sub

• 数据范围

  (1 leq n leq 10^9,0 leq {r - 1} leq {k - 1} leq 50,2 leq p leq 2^{30} - 1)

• 题解

  良心的30分可以通过组合递推得到。

  (p = 2)的时候直接(dp)方案数0或1即可。

  (k = 1)的时候显然答案就是(2^n)

  (k = 2)的时候答案是(2^{n - 1})

  直到80分你都可以使用逆元(O1)计算组合数。

  现在来分析一下题目中的组合数到底代表什么？

  其实就是从(n imes k)个物品中，选出(mod)k余(r)的方案数。

  考虑(dp)，(dp[i][j])表示考虑前(i)个物品，选出来的物品数模(k)为(j)的方案数。

  方程：(dp_{i + 1,j} = dp_{i,j} + dp_{i,j - 1})

  矩阵优化即可。

  复杂度(O(k^3 log_n))

  当然这已经足够通过本题。

  我们再来看看这个式子。

  可以表示成这个样子：(dp[2n][i + j] += dp[n][i] + dp[n][j])

  可以理解为从前(n)个物品中选(i)的方案数和从后(n)个物品中选(j)个的方案数是从整个

  $ 2 imes n(中选)i + j$个的方案数。

  直接倍增即可，复杂度(O(k^2 log_n))

  #include <cstdio>
  #include <algorithm>
  using namespace std;
  #define int long long
  int ret[55], tmp[55], ttt[55], p;
  int n, r, k;
  void pow_mod(int n) {
    ret[0] = 1;
    if (k == 1) tmp[0] = 2;
    else tmp[0] = tmp[1] = 1;
    while (n) {
        if (n & 1ll) {
            for (int i = 0; i < k; ++i)
                ttt[i] = 0;
            for (int i = 0; i < k; ++i)
                for (int j = 0; j < k; ++j)
                    ttt[(i+j)%k] += (ret[i] * tmp[j]) % p;
            for (int i = 0; i < k; ++i)
                ret[i] = ttt[i] % p;
        }
        for (int i = 0; i < k; ++i)
            ttt[i] = 0;
        for (int i = 0; i < k; ++i)
            for (int j = 0; j < k; ++j)
                ttt[(i+j)%k] += (tmp[i] * tmp[j]) % p;
        for (int i = 0; i < k; ++i)
            tmp[i] = ttt[i] % p;
        n >>= 1ll;
    }
  }
  signed main() {
    scanf("%d %lld %d %d", &n, &p, &k, &r);
    pow_mod(n*k);
    printf("%lld", ret[r]);
  }