生成函数

Posted 2021-01-28 ah2002

留个坑慢慢填

概念

生成函数——用多项式表示数列的形式幂级数，其中函数的(i)次项系数对应数列的第(i)项

即(A o sum_{i=0}^{infty} a_ix^i)

例如：

$[1,1,1,1,1,...] o 1+x+x^2+x^3+x^4+ ... $

([1,a,a^2,a^3,a^4,...] o 1+ax+a^2x^2+a^3x^3+a^4x^4+...)

由于我们只是用多项式来表示这个数列，而不关心其是否收敛，所以我们可以直接用数列求和的封闭形式来代替该多项式

例如：

([1,1,1,1,1,...] o sum_{i=0}^{infty} x^i=frac{1}{1-x})

([1,a,a^2,a^3,a^4,...] o sum_{i=0}^{infty} a^ix^i = frac{1}{1-ax})

操作

生成函数拥有多项式的一般性质

设(A o F(x),B o G(x))

则有：

(cA o cF(x))

(A+B o F(x)+G(x))

(A>>k o x^kF(x))

(A<<k o frac{F(x)}{x^k})

设(D(A) o sum_{i=0}^{infty} ia_ix^i)

则(D(A) o xF‘(x))