数独高阶技巧入门之一：链及其简单应用

Posted 2021-01-28 asdyzh

链（Chain）是数独高阶技巧的核心，所有数独盘势都可以通过各种或简单或复杂的链来解出答案。链的本质是命题之间的关系，在解数独时，每个填数的步骤都可表现为在『A格中填入1』、『B格中填入2』这样非真即假的直言命题形式，如果条件不充足，命题真假不能判定，我们把数独中这种命题之间的真假关系称之为链。用链解题的逻辑在于，籍由命题真假值的推导，根据链两端点命题的真假来判断其共同作用格内候选数的真假。

强关系（Strong Links）和弱关系（Weak Links）

链可分为强链与弱链，分别由强关系和弱关系构成，定义如下：

强关系——对应矛盾关系和下反对关系，两个命题不可同假，必有一真（下反对关系可以同真）；

弱关系——对应矛盾关系和上反对关系，两个命题不可同真，必有一假（上反对关系可以同假）。

 

 

图1-矛盾关系

?图1小九宫格中，数字A只可能出现在R1C1和R3C3两个格中。根据数独规则，数字1-9在每个Unit（行Row、列Column、宫Box）中均需出现且仅出现1次，易知两个A之间为矛盾关系，两者不可同假，必为一真一假，可作出判断：(1)若 R1C1≠A，则R3C3=A，两个A之间为强关系，构成强链，记作R1C1{A}==R3C3{A}；(2)若R1C1=1，则R3C3≠1，两个A之间为弱关系，构成弱链，记作R1C1{1}—R3C3{1}。

 

图2-上反对关系

?再看一个例子，图2中，数字A仅能出现在三个格中，根据数独规则，可知必有一个A为真，其余两个为假，则三个A两两之间不能同真，为上反对关系，可作出以下判断：(1)若R1C1=A，则R2C2、R3C3≠A；(2)若R2C2=A，则R1C1、R3C3≠A；(3)若R3C3=A，则R1C1、R2C2≠A。

在本例中，存在三条弱链，分别是R1C1{A}—R2C2{A}, R1C1{A}—R3C3{A}, R2C2{A}—R3C3{A}。

在以上两例中，可以看到，当某单元内特定候选数仅存在于两个格中时，两格中的该候选数是矛盾关系，二者之间既构成强链也构成弱链。而当该候选数存在于三个及以上格中时，两两之间是上反对关系，构成弱链。

 

图3-矛盾关系、上反对关系

强弱关系并不只局限于同一候选数，在图3九宫格中，R1C1中仅存在候选数A、B，R3C3中仅存在候选数A、B、C。如前两例，我们可知，R1C1格中的A和B为矛盾关系，二者之间即是强链也是弱链，R3C3中的A、B、C两两之间为上反对关系，构成弱链。

 

图4-下反对关系、ALS

图4是复杂一点的情况，R1C1、R23C2三格中共有{1234}四个候选数（这种n格中有n+1个候选数的结构称为ALS——Almost Locked Set），根据数独规则，可知这四个候选数中有且只有一个为假，由强弱链定义易知1、2、3和4之间，两两互为强链。与前述矛盾关系的例子不同，本例{1234}中必有三个为真，则其两两之间为下反对关系，可以同真，不能构成弱链。

链是如何工作的

以上我们对强弱链有了基本的了解，接下来我们把链连接起来看看会发生什么。首先是强弱强链，A==B—C==D，我们根据强弱链的定义，画出真值表（只保留有效推导）

 

图5-强弱强链真值表

由图5可以看到，不论A取真值还是假值，在链的起点A和终点D中至少有一真，即A与D之间为强关系。我们仅考虑A为假的情况（若其为真，则已经可以用来删数），当A为假时，由于A、B、C、D由强弱链交替连接，推导如下：(1)若A为假，根据强链定义B只能为真；(2)若B为真，根据弱链定义C只能为假；(3)若C为假，根据强链定义D只能为真。

可见这种情况下只存在有一种有效推导形式，即A假D真，显然，只要保证以强链始以强链终，  即使将这条链不断延长下去仍可得出同样结论：若起点为假则终点必然为真。综上可知，强弱强链的两端点互为强关系，必有一个为真。

我们再来看弱强弱链的推导。A—B==C—D，真值表如下：

 

图6-弱强弱链真值表

可见A与D中至少有一假，二者互为弱关系。将其不断延长，结果仍会是这样，推导过程不再赘述。这种情况不能直接用来删减A、D共同作用格的候选数。

 

图7-强强强链真值表

如果将三条强链连接又会如何呢？A==B==C==D，从图7真值表中可以看到，链的两端点A和D一真一假、全真全假都有可能，也没有删减效果。

由以上推导我们可以总结，在数独解题过程中，链的工作模式是，找到数独盘势中的强链，用弱链将之连接，在此过程中保证强弱交替，以强链始以强链终，则链的两端点互为强关系，必有一真，若其存在共同作用格，则可对共同作用格内的相应候选数进行删减。

链的简单应用

来看一个例子，在图8的盘势中，可以找到一条从R1C4到R4C6的5的链（实线代表强链，虚线代表弱链，R1C4{5}==R1C9{5} — R4C9{5}==R4C6{5}），这条链强弱交替，且以强链始以强链终，可知R1C4的5与R4C6的5互为强关系，必有一个成立，不管哪个成立都可以删去R1C4、R4C6共同作用格（绿色区域）里的5。推导过程如右：(1)若 R1C4=5，则R2C6、R5C4≠5；(2)若R1C4≠5 → R1C9=5 → R4C9≠ 5 → R4C6=5，则 R2C6、R5C4≠5。

 

图8-Skyscraper

ps：上图中的结构称为摩天楼（Skyscraper），是双强链（强弱强链）的一种基础应用。

再看一个稍微复杂点的例子，在图9盘势中，可以找到一条从R4C6到R6C1的6的链（实线箭头代表强链，虚线代表弱链），可知R4C6与R6C1中的6互为强关系，必有一个成立，故可删去R4C6与R6C1共同作用格（绿色区域）内的6。大家可自行推导以加强对链的掌握。

 

图9-异数链

作者：零时四分_719b
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