最基本的DP问题（转）

Posted 2021-01-28 yokel062

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HDU　２０８４

Problem Description

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：
有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

 

Input

输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

 

Output

对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

1

5

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

 

Sample Output

30

 

刚看了动态规划，就做了道dp的题目。虽然动态规划还没整明白，但是感觉这道题还是很好理解的。

在做完这道题目之后我又回顾了一下书（算法导论）中所讲：

“我们通常按如下四个步骤来设计一个动态规划的算法：

1. 刻画一个最优解的结构特征。
2. 递归地定义最优解的值。
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。”

我觉得这道题的解题步骤就完全可以用这个来描述：

　　　　1.首先，一个最优解的结构特征，即从顶层走到底层，其各个节点的最大数字之和的为最优解。

　　　　2.题目中要求走法为自顶向下，且每一步只能走到相邻的节点，那么每个节点只有两种选择，即这个节点的两个子节点；

　　　　　那么这个节点的最优解就等于这个节点的值加上其两个节点的最优解的最大值；

　　　　3.自底向上的求解。

　　　　4.我们所求出来的解就是我们所需要的答案，则第四步在这里可以忽略掉。

最后附上我的代码：

　　我用数组a来接收数塔的值，则第三部可以表示为：a[i][j]的最优解=max(a[i+1][j]的最优解，a[i+1][j+1]的最优解);

而数塔最底层节点的最优解就等于他本身的值，因为他只有一个；那么最底层的值已知，我们只需要从下往上递推就可以了

即这三行代码块：

             for(i=n-1;i>=0;i--)
                 for(j=0;j<=i;j++)
                     a[i][j]=a[i][j]+max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]);

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std ;
 3 int main ()
 4 {
 5     long long dp[105][105];
 6     int T; cin>>T;
 7     while (T--)
 8     {
 9         int n; cin>>n;
10         memset(dp,0,sizeof(dp));
11         for(int i=0; i<n; i++)
12             for(int j=0; j<=i; j++)
13             cin>>dp[i][j];
14 
15         for(int i=n-1; i>=0; i--)
16             for(int j=0; j<=i; j++)
17             dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);
18 
19         cout<<dp[0][0]<<endl ;
20     }
21     return 0;
22 }