线性代数-单射,满射,双射,同构,同态,仿射

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线性代数-单射,满射,双射,同构,同态,仿射相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

I. 映射(Mapping)

1. 单射(Injective)

函数f 是单射当且仅当若f(x) = f(y) 则 x = y。

例子: f(x) = x+5 从实数集(R)(R)是个单射函数。

这个函数很容易被还原:f(3) = 8,即 已知 8 可以返回 3

2. 满射(Surjective)

函数 f(从集 A 到集 B)是满射当且仅当在 B 中的每个 y 存在至少一个在 A 中的 x 满足 f(x) = y, 就是说, f 是满射当且仅当 f(A) = B。

值域里的每个元素都至少有一个定义域元素与之对应。

例子:函数 f(x) = 2x 从自然数集(N)到非负偶数是个满射函数。

但 f(x) = 2x 从自然数集(N)(N)不是满射,因为没有一个自然数(N)可以被这个函数映射到 3。

3. 双射(Bijective)

函数 f(从 A 集到 B 集)是双射,若每个 B 中的 y 都有唯一的一个(而没有另外一个) A 集中的 x 满足 f(x) = y

或者说:当单射和满射都成立时,f 是双射。

例子: 函数 (f(x) = x^2) 从正实数到正实数是单射,也是满射,所以它是双射。

但从实数集(R)就不是,因为f(2)=4,并且f(-2)=4

II. 同态&同构

对于向量空间(V,W),若有映射(Phi :V→W)满足如下条件,则我们称(Phi)线性映射(linear mapping)(或者向量空间同态(vector space Homomorphism)linear transform):
[forall{x,y}∈V, lambda,psi∈R:Phi(lambda x+psi y)=lambda Phi(x) + psi Phi(y)]

基于上面已经介绍了的映射的概念,我们现在可以更好地直观理解同态和同构的定义,它们分别如下:

  • (Phi:V→W ,,, linear): 同态 (Homomorphism)
    • (Phi:V→W ,,, linear ,, and ,, injective): 单一同态 (Monomorphism)
    • (Phi:V→W ,,, linear ,, and ,, surjective): 满同态 (Surjective Homomorphism)
    • (Phi:V→W ,,, linear ,, and ,, bijective): 同构 (Isomorphism)
  • (Phi:V→V ,,, linear): 自同态 (Endomorphism)
    • (Phi:V→V ,,, linear ,, and ,, injective): 单一自同态 (Monomorphic Endomorphism)
    • (Phi:V→V ,,, linear ,, and ,, surjective): 满自同态 (Surjective Endomorphism)
    • (Phi:V→V ,,, linear ,, and ,, bijective): 自同构 (Automorphism)

定理:两个维度是有限的向量空间(V,W),当且仅当二者的维度相同,即(dim(V)=dim(W))(V,W)二者同构。

假设现在有三个向量空间分别为(V,W,X),那么它们有如下性质:

  • 如果有线性映射(Phi:V→W)(Psi:W→X),那么映射(Phi?Psi:V→X)也是线性映射;
  • 如果(Phi:V→W)是同构(isomorphsim),那么(Phi^{-1}:V→W)也是同构;
  • 如果(Phi:V→W,Psi:V→W)都是线性映射,那么(Psi+Phi)(lambdaPhi,lambda∈R)也都是线性的。

1. 线性映射的矩阵表示

坐标(Coordinates) 的定义:

假设向量空间(V)的顺序基(ordered bases)为(B=(b_1,...,b_n)),那么(V)中任意一个向量(x)可由顺序基线性组合表示,即
(x=α_1b_1+...+α_nb_n)(。此时矢量)(alpha=[α_1,...,α_n]^{T}∈R^n)则是(x)在向量空间(V)上以(B)为基的坐标。

变换矩阵(Transform Matrix) 的定义:

假设向量空间(V∈R^n,W∈R^m)的顺序基分别为(B=(b_1,...,b_n),C=(c_1,...,c_m))。对于映射(Psi:V→W),有
[Phi(b_j)=α_{1j}c_1+...+α_{mj}c_m=sum_{i=1}^mα_{ij}c_i]
则我们称(A_{Phi}(i,j)=α_{ij})为映射(Phi)的变换矩阵。

所以向量空间(V)中的坐标矢量(x)(W)中的坐标矢量(y)有如下变换关系:(y=A_{Phi}x)

2. 基变换(Basis Change)

定义:

假设向量空间(V)的顺序基有两个,分别是(B=(b_1,...,b_n), ilde{B}=( ilde{b_1},..., ilde{b_n})),向量空间(W)也有两个顺序基,分别为(C=(c_1,...,c_n), ilde{C}=( ilde{c_1},..., ilde{c_n}))(A_{Phi})是映射(Phi:V→W)关于顺序基(B,C)的变换矩阵,( ilde{A_{Phi}})是映射(Phi:V→W)关于顺序基( ilde{B}, ilde{C})的变换矩阵,两个变换矩阵的关系如下:
[ ilde{A_{Phi}}$=T^{-1}A_{Phi}S]
其中(S∈R^{n×n})表示向量空间(V)从基( ilde{B})到基(B)的恒等映射(id_V)的变换矩阵,(T∈R^{m×m})表示向量空间(W)基于基( ilde{C})到基(C)的恒等映射(id_W)的变换矩阵,

3. 核(kernel)与象(Image)

先看定义:

  • 核(Kernel/null space):

    假设有映射(Phi:V→W),核(kernel)为:
    [ker(Phi)=Phi^{-1}(0_w)={v∈V:Phi(v)=0_w}]

什么意思呢?就是说经过映射后,(V)中的一些值被映射到(W)的零点(如下图示),而(V)这些值组成的集合(即左边橘黄色部分)就称为kernel

  • 象(Image/Range)

[Im(Phi)=Phi(V)={w∈W|exists v∈V:Phi(v)=w}]

怎么理解象呢?就是说整个向量空间(V)在经过映射后在向量空间(W)上得到的集合,也就是右边黄色部分。

为方便理解,可以把kenel粗略地理解成定义域,Image理解成值域。

另外需要注意的有如下推论:

  • 始终有(Phi(0_V)=0_W),即(0_V∈ker(Phi))
  • (Im(Phi),Ker(Phi))分别是(W,V)的子空间
  • 当且仅当(Ker(Phi)={0})时,(Phi)是单射。

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Rank-Nullity Theorem(秩-零定理):对于映射(Phi:V→W)始终满足如下等式:
[dim(Ker(Phi))+dim(Im(Phi))=dim(V)]

如果用matrix来说的话,假设A是一个n*n的matrix,则:(rank(A)+nullity(A)=n)
再通俗点说就是对A进行初等变换后得到的echelon form(行阶梯形式),不为0的行数加上全部为0的行数等于这个矩阵的行数。当然因为一般的matrix的row rank和column rank相等,所以变成column echelon form之后用列来计数也是一样的。

III. 仿射空间(Affine Spaces)

前面提到的映射都是经过零点的,下面介绍的仿射空间是偏离原点的空间。

1. 仿射子空间(Affine Subspaces)

定义:

假设(V)为向量空间,(x_0∈V), (Usubseteq{V})为子空间,则子集
[ egin{align} L&=x_0+U={x_0+u: u∈U} otag &={v∈V|exists{u∈U}:v=x_0+u}subseteq{V} otag end{align} ]
称为向量空间(V)仿射子空间(affine subspace)linear manifold(U)称为Direction (Space),(x_0)称为support point

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2. 仿射映射(Affine Mappings)

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参考资料



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2018-12-16













以上是关于线性代数-单射,满射,双射,同构,同态,仿射的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

线性代数里 one-to-one啥意思

《本科-线性代数笔记-精简汇总》,纯手工!

群同构与线性空间同构的区别

函数

集合论:映射

线性映射03——线性空间的同构