谢宾斯基三角形的几种生成方法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了谢宾斯基三角形的几种生成方法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

简介

谢宾斯基三角形(Sierpinski triangle)是一种分形,由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出。它是一种自相似集。

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几种生成方法

方法一:去掉中心

  1. 取一个实心的三角形(多数用等边三角形)
  2. 连接三边中点,将它们分成4个小三角形
  3. 将正中间的三角形挖空
  4. 对其余三个小三角形重复操作1

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 取一个正方形或其它图形开始,用类似的方法,形状也和谢宾斯基三角形相似,例如:

  1. 取一个实心正方形
  2. 将它分成3个“品”字形的小正方形
  3. 将其余部分“挖空”
  4. 重复步骤1

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方法二:Chaos Game

  1. 任取平面上三点,画出这三点
  2. 在平面上任取一点P
  3. 画出P与三角形其中任意一个顶点的连线的中点
  4. 重复2

这种方法简单暴力,但又极其优雅。

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 1 / 程序名称:谢宾斯基(Sierpinski)三角形,也叫垫片
 2 // 编译环境:Visual C++ 6.0,EasyX 2011惊蛰版
 3 // 最后更新:2010-11-16
 4 //
 5 #include <graphics.h>
 6 #include <conio.h>
 7 #include <time.h>
 8 
 9 int main()
10 {
11     srand((unsigned)time(NULL));                        // 设置随机种子
12     POINT P[3] = {{320, 50}, {120, 400}, {520, 400}};    // 设定三角形的三个顶点
13     POINT p = {rand() % 640, rand() % 480};                // 随机产生当前点
14 
15     // 初始化图形模式
16     initgraph(640, 480);
17 
18     // 绘制三万个点
19     int n;
20     for(int i = 0; i <= 30000; i++)
21     {
22         n = rand() % 3;
23         p.x = (p.x + P[n].x) / 2;
24         p.y = (p.y + P[n].y) / 2;
25         putpixel(p.x, p.y, GREEN);
26     }
27 
28     // 按任意键退出
29     getch();
30     closegraph();
31 
32         return 0;  
33 }
C源代码实现

方法三:L系统

通过曲线逼近谢宾斯基三角(没看懂维基上的生成规则,555

贴图:

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方法四:杨辉三角

将有4·2n(n≥0) 行的杨辉三角中的奇数染成黑色,当n趋于无穷大时,得到的就是谢宾斯基三角形

例如:n=3时

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方法五:元胞自动机

也译作细胞自动机,由冯·诺依曼在20世纪50年代,此后史蒂芬·沃尔夫勒姆对元胞自动机理论作了深入的研究。

元胞自动机有很多规则,这里用“规则90”

考虑无限长度的一维格子表,用黑色格子表示1,白色格子表示0,有无限行这样的一维格子表就形成了“只有上界”的二维格子表。

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“规则90”:相邻的三个格子决定下一行中间格子的状态,具体规则如下表:

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生成的过程:

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其实从从杨辉三角来理解这种方法就不难了。

 

分形

1973年,曼德勃罗(B.B.Mandelbort)首次提出分维分形(fractal)的设想,其原意具有不规则和支离破碎的几何形状。一般是指“一个粗糙或零碎几何形状,可以分成数部分,且每一份(大约)是整体的缩小版”,此性质称为“自相似”。

数值特征

例如:用无限的周长围住了面积为0的区域

例如:在谢宾斯基三角形中,设初始周长为1单位,初始面积为1单位,则有$S_n=/frac{3}{2}^n$,$C_n=/frac{3}{4}^n$。当n趋于无穷大时,周长为∞,面积为0.

维数(豪斯多夫维)

例如:当一个正方形边长变成3倍时,得到9个他组成的、和它相似的正方形,正方形的维数是2,恰好又$log9/log3=2$

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又例如:当一个长方体边长变成2倍时,得到8个由它组成、与它相似的长方体,长方体的度数为3,恰好有$log8/log2=3$

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而谢宾斯基三角形的边长变成2倍时,得到三个由它组成、与它相似的图形,根据前面的计算方法,它的豪斯多夫维是$log3/log2approx 1.585$,不再是整数。

 

结语

学习《离散数学》看到谢宾斯基三角形,发现POJ1942就是有关它的题目。这样有成功的水一题(可还行)。

题目:The Sierpinski Fractal

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 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int maxm = (1 << 10) + 10;
 6 const int maxn = (1 << 11) + 10;
 7 char ch[maxm][maxn];
 8 int n;
 9 
10 inline void draw(int x, int y, int n)
11 {
12     if (n == 1)
13     {
14         ch[x][y] = /; ch[x][y + 1] = _; ch[x][y + 2] = _; ch[x][y + 3] = \\;
15         ch[x - 1][y + 1] = /; ch[x - 1][y + 2] = \\;
16         return;
17     }
18     draw(x, y, n - 1);
19     draw(x, y + (1 << n),n - 1);
20     draw(x - (1 << (n - 1)), y + (1 << (n - 1)), n - 1);
21 }
22 
23 void solve()
24 {
25     while (scanf("%d",&n) == 1 && n)
26     {
27         int row = 1 << n, col = 1 << (n + 1);
28         for (int i = 0; i < row; i++)
29             for (int j = 0; j < col; j++)  ch[i][j] =  ;
30         draw(1 << n, 0, n);
31         for (int i = 1; i <= row; i++)
32         {
33             int last;
34             for (int j = 0; j < col; j++)  if (ch[i][j] !=  )  last = j;
35             for (int j = 0; j <= last; j++)   printf("%c", ch[i][j]);
36             printf("
");
37         }
38         printf("
");
39     }
40 }
41 
42 int main()
43 {
44     solve();
45 
46     return 0;
47 }
AC代码

 

 

参考链接:

1、中国大学mooc  刘铎  离散数学

2、https://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5883295.html

3、https://www.codebus.cn/yangw/post/sierpinski-triangle

4、维基百科 谢宾斯基三角形

 

以上是关于谢宾斯基三角形的几种生成方法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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