浅谈RMQ

Posted 2021-01-27 akmer

所谓(RMQ)，就是(Range) (Minimum/Maximum) (Query)，区间最值查询。我们可以用线段树维护，也可以使用笛卡尔树将其转化为求(lca)的问题。但是后者一般不常用，更为常用的，是家喻户晓的(st)算法。由于(RMQ)问题大多不是赤裸裸的(RMQ)，而是经过了伪装。所以(st)算法显得尤为重要。

嗯，我也不清楚这有什么关系。但是先不说能不能看破(RMQ)的伪装，(st)算法总得会嘛，(st)都不会看破伪装不照样(GG)……

(st)算法

(st)算法用了(dp)的思想，我们设(f[i][j])表示从当前序列第(i)位开始，一直到(i+2^j-1)结束最大值在哪一位。

那么(f[i][j])就可以由(f[i][j-1])与(f[i+2^j][j-1])更新得来。预处理(f)数组需要(O(nlogn))的时间。

求出(f)数组之后，我们就可以(O(1))的查询区间([l,r])的最大值了。设(len=r-l+1)，假设存在一个(x)满足：

(2^xleqslant len)且(lenleqslant 2^{x+1})。那么(f[l][x])与(f[r-2^x+1][x])的最大值就是区间([l,r])的最大值。因为([l,l+2^x-1])与([r-2^x+1,r])肯定会将区间([l,r])覆盖，即使重合了也没关系，最大值还是最大值。我还是菜鸡

(st)算法会了之后就可以愉快的去写(RMQ)了。如果你看不破题目的伪装，那就去与(RMQ)的战场上走一遭吧，能活着回来你就会了。